Question

閱讀理解
對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a+b-2

ab

≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．
結(jié)論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2

p

．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當(dāng)m=

 

時(shí)，m+

1

m

有最小值

 

．
（2）探索應(yīng)用
如圖，已知A（-2，0），B（0，-3），P為雙曲線y=

6

x

（x＞0）上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時(shí)四邊形ABCD的形狀．

（3）實(shí)踐應(yīng)用
建筑一個(gè)容積為800m³，深為8m的長方體蓄水池，池壁每平方米造價(jià)為80元，池底每平方米造價(jià)為120元，如何設(shè)計(jì)池底的長、寬，使總造價(jià)最低？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目給出的結(jié)論，可知當(dāng)m=

1

m

，即m=1（m＞0）時(shí)，m+

1

m

有最小值；
（2）若設(shè)P（x，

6

x

），則S_{四邊形ABCD}=

1

2

CA×DB=

3

2

（x+

4

x

）+6，利用題目給出的結(jié)論，可知當(dāng)x=

4

x

，即x=2（x＞0）時(shí)，S_{四邊形ABCD}有最小值，并求出各邊長度，從而判斷四邊形ABCD的形狀；
（3）根據(jù)長方體的體積公式，可知此長方體蓄水池的底面積為100m²，如果設(shè)池底的一邊為xm，那么另一邊為（

100

x

）m，根據(jù)長方體的表面積公式列出總造價(jià)y與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用題目給出的結(jié)論，求出結(jié)果．

解答：解：（1）閱讀理解：1（寫

1

m

不扣分），2（2分）

（2）探索應(yīng)用：
設(shè)P（x，

6

x

），則C（x，0），D（0，

6

x

），（4分）
∴CA=x+2，DB=

6

x

+3，（5分）
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+2）（

6

x

+3）=

3

2

（x+

4

x

）+6（6分）
∵x＞0∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

即x+

4

x

≥4，∴x+

4

x

有最小值4，
此時(shí)

3

2

（x+

4

x

）+6有最小值12．
只有當(dāng)x=

4

x

時(shí)，即x=2時(shí)，等號(hào)成立．
∴四邊形ABCD面積的最小值為12．（7分）
此時(shí)，P（2，3），C（2，0），D（0，3），AB=BC=CD=DA=

13

，
∴四邊形ABCD是菱形．（8分）

（3）實(shí)踐應(yīng)用：
設(shè)池底的一邊為xm，另一邊為（

100

x

）m，
根據(jù)題意得y=80×2×（x+

100

x

）×8+12000=1280（x+

100

x

）+12000
當(dāng)x=

100

x

即x=10時(shí)，x+

100

x

≥2

x• 100 x

即x+

100

x

≥20，
此時(shí)x+

100

x

有最小值20，y有最小值37600元．
池底一邊為10m時(shí)，使總造價(jià)最低．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力與分析、解決實(shí)際問題的能力，是近幾年中考的熱點(diǎn)．透徹理解及靈活運(yùn)用題目給出的結(jié)論是解決本題的關(guān)鍵．