Question

如圖，△ABC中，AB=AC=a，∠ABC=72°，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF平分∠AED，F(xiàn)G∥BC，則FG長(zhǎng)為________．

Answer 1

（）³a
分析：由AB=AC=a，DE∥BC，易得梯形BCDE是等腰梯形，即可得BE=CD，又由BD平分∠ABC，DE∥BC，易得BE=DE，即可得BE=DE=CD，易證得△AED≌△BDC與△BDC∽△ABC，然后設(shè)BC=x，則DC=AB-AD=a-x，易得方程x²=a（a-x），即可求得BC的長(zhǎng)，同理可求得FG長(zhǎng)．
解答：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠A=36°，
∵DE∥BC，
∴梯形BCDE是等腰梯形，
∴BE=CD，
∵EF平分∠AED，
∴∠EBD=∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠ADE=∠C，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
∴ED=DC，
在△AED和△BDC中，
∵，
∴△AED≌△BDC（AAS），
∴BC=AD，
∵∠C=∠C，∠DBC=∠A，
∴△BDC∽△ABC，
∴，
即BC²=DC•AC，
設(shè)BC=x，則DC=AB-AD=a-x，
∴x²=a（a-x），
解得：x=a，
∴BC=AD=a，
同理：DE=AF=AD=（）²a，
FG=AF=×（）²a=（）³a．
故答案為：（）³a．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．