Question

已知：如圖，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足為點E，點F為AC的中點．
（1）求證：∠AFB=90°；
（2）求證：△ADC≌△AEC；
（3）連接DE，試判斷DE與BF的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

（1）證明：∵BA=BC，F(xiàn)是AC的中點（已知），
∴BF⊥AC（等腰三角形的三線合一）．（1分）
∴∠AFB=90°（垂直的定義）．（1分）

（2）證明：∵AE⊥BC（已知），
∴∠AEC=90°（垂直的定義）．
∵∠ADC=90°（已知），
∴∠ADC=∠AEC（等量代換）．（1分）
∵DC∥AB（已知），
∴∠DCA=∠CAB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∵BA=BC（已知），
∴∠ECA=∠CAB（等邊對等角）．
∴∠DCA=∠ECA（等量代換）．（1分）
在△ADC和△AEC中，

∠ADC=∠AEC(已證) ∠DCA=∠ECA(已證) AC=AC(公共邊)

∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分）

（3）DE與BF平行．（1分）
證明：設DE交AC于點H，
∵△ADC≌△AEC（已證），
∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形對應邊相等、對應角相等）．（1分）
∴BH⊥DE（等腰三角形的三線合一）．（1分）
∴∠AHE=90°（垂直的定義）
∵∠AFB=90°（已證），
∴∠AFB=∠AHE（等量代換）．（1分）
∴DE∥BF（同位角相等，兩直線平行）．