Question

已知：如圖，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：∠AFB=90°；
（2）求證：△ADC≌△AEC；
（3）連接DE，試判斷DE與BF的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）由BA=BC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一，可得BF⊥AC，即可證得∠AFB=90°；
（2）易證DC∥AB，又由BA=BC，根據(jù)等邊對(duì)等角，證得∠ECA=∠CAB，即可根據(jù)AAS證得△ADC≌△AEC；
（3）首先設(shè)DE交AC于點(diǎn)H，由△ADC≌△AEC，即可得AD=AE，∠DAH=∠EAH，根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一，則可證得BH⊥DE，則可得∠AFB=∠AHE，又由同位角相等，兩直線(xiàn)平行，證得DE∥BF．

解答：（1）證明：∵BA=BC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)（已知），
∴BF⊥AC（等腰三角形的三線(xiàn)合一）．（1分）
∴∠AFB=90°（垂直的定義）．（1分）

（2）證明：∵AE⊥BC（已知），
∴∠AEC=90°（垂直的定義）．
∵∠ADC=90°（已知），
∴∠ADC=∠AEC（等量代換）．（1分）
∵DC∥AB（已知），
∴∠DCA=∠CAB（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵BA=BC（已知），
∴∠ECA=∠CAB（等邊對(duì)等角）．
∴∠DCA=∠ECA（等量代換）．（1分）
在△ADC和△AEC中，

∠ADC=∠AEC(已證) ∠DCA=∠ECA(已證) AC=AC(公共邊)

∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分）

（3）DE與BF平行．（1分）
證明：設(shè)DE交AC于點(diǎn)H，
∵△ADC≌△AEC（已證），
∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）．（1分）
∴BH⊥DE（等腰三角形的三線(xiàn)合一）．（1分）
∴∠AHE=90°（垂直的定義）
∵∠AFB=90°（已證），
∴∠AFB=∠AHE（等量代換）．（1分）
∴DE∥BF（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．