Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點，延長BC到E，使CE=CG，連接BG并延長交DE于F．
（1）求證：△BCG≌△DCE，BG=DE；
（2）將△DCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，判斷四邊形BGDE′是什么特殊四邊形？說明理由；
（3）若BG=4GF=8，DG=6，求四邊形BFDE′的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE；

（2）解：四邊形DE′BG是平行四邊形．理由如下：
∵△DCE繞D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG．
∴四邊形DE′BG是平行四邊形；

（3）解：∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DFG=90°，
∵四邊形DE′BG是平行四邊形，∴DE′∥BG；
∴四邊形BFDE′是直角梯形；
在直角△DGF中，∵∠DFG=90°，GF=2，DG=6，
∴DF==4．
∴四邊形BFDE′的面積=（ED+BF）•DF=（8+10）×4=36．
分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）得BG=DE，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，從而證得四邊形E′BGD為平行四邊形；
（3）首先證明∠DFG=90°，得出四邊形BFDE′是直角梯形，再運用勾股定理在直角△DGF中求出DF的長度，最后根據(jù)梯形的面積公式即可求出．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度中等．