Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，點P（m，0）是線段OB上一動點，過點P作y軸的平行線，交直線y=于點E，交拋物線于點F，以EF為一邊，在EF的左側(cè)作矩形EFGH．若FG=，則當(dāng)矩形EFGH與△OAB重疊部分為軸對稱圖形時，m的取值范圍為________．

Answer 1

m=-1或-6或-或-＜m≤-
分析：把拋物線整理成頂點式形式并求出頂點A的坐標(biāo)，令y=0，解方程求出點B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后判斷出△AOB是等腰直角三角形，再分①矩形EFGH為正方形時，根據(jù)拋物線和直線解析式表示出EF，再根據(jù)EF=FG列出方程求解即可；②矩形EFGH關(guān)于拋物線對稱軸對稱時，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱軸向有FG即為點P的橫坐標(biāo)；③點H在AB上時，設(shè)直線y=-x與直線AB相交于點C，聯(lián)立兩直線解析式求出點C的坐標(biāo)，然后求出點H在直線AB上時，求出△CHE和△CBO相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出，然后求出，過點C作CD⊥x軸于D，求出△OEP和△OCD相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出PE，從而得到點E的縱坐標(biāo)，再代入直線解析式求出點E的橫坐標(biāo)，即為點P的橫坐標(biāo)，從此位置到點E與點C重合，重疊部分為等腰直角三角形，是軸對稱圖形．
解答：∵y=-x²-2x=-（x+4）²+4，
∴頂點A的坐標(biāo)為（-4，4），
令y=0，則-x²-2x=0，
整理得，x²+8x=0，
解得x₁=0，x₂=-8，
∴點B的坐標(biāo)為（-8，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線AB的解析式為y=x+8，
∴∠ABO=45°，
由拋物線的對稱性得，△AOB是等腰直角三角形，
①矩形EFGH為正方形時，EF=FG，
∴（-m²-2m）-（-m）=，
整理得，m²+7m+6=0，
解得m₁=-1，m₂=-6；
②矩形EFGH關(guān)于拋物線對稱軸對稱時，
點P的橫坐標(biāo)m=-4+FG=-4+×=-4+=-；
③如圖，點H在AB上時，設(shè)直線y=-x與直線AB相交于點C，
聯(lián)立解得，
∴點C的坐標(biāo)為（-，），
∵PE∥y軸，四邊形EFGH為矩形，
∴EH∥x軸，
∴△CHE∽△CBO，
∴===，
∴=，
過點C作CD⊥x軸于D，則CD∥PE，
∴△OEP∽△OCD，
∴=，
即=，
解得PE=，
∴點E的縱坐標(biāo)為，
代入y=-x得，-x=，
解得x=-，
∴點P的橫坐標(biāo)m=-，
∴從此位置到點E與點C重合，重疊部分為等腰直角三角形，
∴-＜m≤-；
綜上所述，矩形EFGH與△OAB重疊部分為軸對稱圖形時，m的取值范圍是：m=-1或-6或-或-＜m≤-．
故答案為：m=-1或-6或-或-＜m≤-．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在于要根據(jù)矩形EFGH的位置分情況討論．