Question

已知關(guān)于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？求出此時(shí)方程的根．

Answer 1

（1）證明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1，
∴△=b²-4ac=（m+2）²-4×1×（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4．
∵無論m為任何實(shí)數(shù)，（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4≥4＞0．
∴無論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵方程的解為x=

-(m+2)± (m-2)2+4

2×1

=

-(m+2)± (m-2)2+4

2

，
∴x₁=

-(m+2)+ (m-2)2+4

2

，x₂=

-(m+2)- (m-2)2+4

2

∵方程兩根互為相反數(shù)，即x₁+x₂=0．
∴

-(m+2)+ (m-2)2+4

2

+

-(m+2)- (m-2)2+4

2

=0，
∴

-2(m+2)

2

=0．
∴m=-2．即當(dāng)m=-2時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)．
把m=-2代入方程x²+（m+2）x+2m-1=0，
解得x=±

5

，
當(dāng)方程的兩根互為相反數(shù)時(shí)，此時(shí)方程的根為x₁=

5

，x₂=-

5

．