Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，CE與BF相交于點(diǎn)H．
（1）試說明四邊形EHFG是平行四邊形．
（2）平行四邊形ABCD滿足什么條件EHFG會(huì)成為一個(gè)菱形？說出你的理由．
（3）平行四邊形ABCD再滿足什么條件EHFG就會(huì)成為一個(gè)正方形？說出你的理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四邊形FGEH是平行四邊形；

（2）當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，平行四邊形EHFG是菱形．
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，
∴BE=CF，
在△EBC與△FCB中，
∵，
∴△EBC≌△FCB，
∴CE=BF，
∠ECB=∠FBC，
BH=CH，
EH=FH，
平行四邊形EHFG是菱形；


（3）當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時(shí)，
平行四邊形EHFG是正方形．
∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，且AB=CD，
∴AE=DF，且AE∥DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∴AD=EF，
又∵AB=2AD，E為AB中點(diǎn)，則AB=2AE，
于是有AE=AD=AB，
這時(shí)，EF=AE=AD=DF=AB，∠EAD=∠FDA=90°，
∴四邊形ADFE是正方形，
∴EG=FG=AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，
∴此時(shí)，平行四邊形EHFG是正方形．
分析：（1）通過證明兩組對(duì)邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，通過證明有一組鄰邊相等，可得平行四邊形EHFG是菱形；
（3）當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時(shí)，先證明四邊形ADFE是正方形，得出有一個(gè)內(nèi)角等于90°，從而證明菱形EHFG為一個(gè)正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題屬于綜合題，考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定和正方形的判定，注意找準(zhǔn)條件，有一定的難度．