【題目】某工廠投入生產(chǎn)一種機(jī)器的總成本為2000萬元.當(dāng)該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái),但不超過70臺(tái)時(shí),每臺(tái)成本y與生產(chǎn)數(shù)量x之間是一次函數(shù)關(guān)系,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(2)求該機(jī)器的生產(chǎn)數(shù)量;

(3)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種機(jī)器每月銷售量z(臺(tái))與售價(jià)a(萬元∕臺(tái))之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系.該廠生產(chǎn)這種機(jī)器后第一個(gè)月按同一售價(jià)共賣出這種機(jī)器40臺(tái),請(qǐng)你求出該廠第一個(gè)月銷售這種機(jī)器的利潤(rùn).(注:利潤(rùn)=售價(jià)-成本)

【答案】(1) y=-x+65.10x70;(2) 50臺(tái);(3) 312.5萬元.

【解析】

試題分析:(1)設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b,運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出其關(guān)系式,由該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái),但不超過70臺(tái)就可以確定自變量的取值范圍;

(2)根據(jù)每臺(tái)的成本乘以生產(chǎn)數(shù)量等于總成本建立方程求出其解即可;

(3)設(shè)每月銷售量z(臺(tái))與售價(jià)a(萬元臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n,運(yùn)用待定系數(shù)法求出其解析式,再將z=25代入解析式求出a的值,就可以求出每臺(tái)的利潤(rùn),從而求出總利潤(rùn).

試題解析:(1)設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b,由題意,得

,

解得:,

y=-x+65.

該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái),但不超過70臺(tái),

10x70;

(2)由題意,得

xy=2000,

-x2+65x=2000,

-x2+130x-4000=0,

解得:x1=50,x2=80>70(舍去).

答:該機(jī)器的生產(chǎn)數(shù)量為50臺(tái);

(3)設(shè)每月銷售量z(臺(tái))與售價(jià)a(萬元臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n,由函數(shù)圖象,得

解得:,

z=-a+90.

當(dāng)z=25時(shí),a=65,

成本y=-z+65=-×25+65=(萬元);

總利潤(rùn)為:25(65-)==312.5(萬元).

答:該廠第一個(gè)月銷售這種機(jī)器的利潤(rùn)為312.5萬元.

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