Question

【題目】如圖，點(diǎn)O在ABCD的AD邊上，⊙O經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)E在⊙O外，且OE⊥BC，垂足為F．

（1）若EC是⊙O的切線，∠A＝65°，求∠ECB的度數(shù)；

（2）若OF＝4，OD＝1，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）2

【解析】

（1）連接OB、OC，如圖，利用平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出∠OCB=50°，即可得到結(jié)論；
（2）作DH⊥BC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則AD=r+1，利用平行四邊形的性質(zhì)得BC=AD=r+1，AD∥BC，AB=CD，再根據(jù)垂徑定理得BF=CF=（r+1），在Rt△OCF中利用勾股定理得到42+（r+1）2=r2，解方程得到r=5，然后在Rt△CDH中利用勾股定理計(jì)算CD即可得到AB的長．

解：（1）連接OB、OC，如圖，

∵EC是⊙O的切線，

∴∠OCE＝90°，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣65°＝115°，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠A＝65°，

∴∠OBC＝115°﹣65°＝50°，

∴∠OCB＝50°，

∴∠BCE＝∠OCE﹣∠OCB＝90°﹣50°＝40°；

（2）解：作DH⊥BC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則AD＝r+1，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BC＝AD＝r+1，AD∥BC，AB＝CD，

∵OE⊥BC，

∴四邊形ODHF為矩形，BF＝CF＝（r+1），

∴FH＝OD＝1，DH＝OF＝4，

在Rt△OCF中，42+（r+1）2＝r2，解得r1＝﹣（舍去），r2＝5，

在Rt△CDH中，∵CH＝2，DH＝4，

∴CD＝＝2，

∴AB＝2．