Question

如圖（1），拋物線（）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線AC的解析式為，拋物線的對稱軸與軸交于點E，點D（－2，－3）在對稱軸上．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖（1），若點M是線段OE上一點（點M不與點O、E重合），過點M作MN⊥x軸，交拋物線于點N，記點N關于拋物線對稱軸的對稱點為點F，點P是線段MN上一點，且滿足MN=4MP，連接FN、FP，作QP⊥PF交x軸于點Q，且滿足PF=PQ，求點Q的坐標；

（3）如圖（2），過點B作BK⊥x軸交直線AC于點K，連接DK、AD，點H是DK的中點，點G是線段AK上任意一點，將△DGH沿GH邊翻折得△DGH，求當KG為何值時，△DGH與△KGH重疊部分的面積是△DGK面積的．

Answer 1

（1）；（2）Q（－7，0）；（3）或．

【解析】（1）在中，令y=0，得，∴A（－5，0），∵D(－2，－3)在對稱軸上，∴拋物線的

對稱軸為直線，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；

（2）∵MN⊥QM，MN⊥FN，QP⊥PF，∴∠2=∠6=90°，∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

又∵PF=PQ，∴△QMP≌△PNF，∴MQ=NP，MP=NF，設M(m，0)（），則N（，），MN=，∴F(，)，FN=，∴

，解得：或（舍），∴MN=8，M(－1，0)，∴MQ=NP=MN=6，∴Q（－7，0）；

（3）令，得或，∴B(1，0)，∴K（1，6），

∵DK==，

①若翻折后，點D′在直線GK上方，記D′H與GK交于點L，連接D′K，∴

，即，∴GL=LK，HL=D′L，∴四邊形D′GHK

是平行四邊形，∴DG=D′G=KH=KD=，又∵BK=BA=6，DE=AE=3，∴△ABK和△AED都是等腰直角三角形，AD=，∴∠DAG=45°+45°=90°，由勾股定理得：AG=，∴KG=KA－

AG=；

②若翻折后，點D′在直線DK下方，記D′G與KH交于點L，連接D′K，∴

，即，∴HL=KL，GL=D′L，∴四邊形D′KGH是平行四邊形，∴KG=D′H=DH=KD=；

③若翻折后，點D′與點K重合，則重疊部分的面積等于，不合題意．

綜上所述：KG=或．