Question

（2013•南平）設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)．現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①過點(diǎn)P至少存在一條直線將△ABC分成周長相等的兩部分；
②過點(diǎn)P至少存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；
③過點(diǎn)P至多存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；
④△ABC內(nèi)存在點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q有兩條直線將其平分成面積相等的四個(gè)部分．
其中結(jié)論正確的是

①②④

．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于結(jié)論①②，根據(jù)圖形周長、面積的連續(xù)性變化，判定其為真命題；
對(duì)于結(jié)論③，舉出反例判定其為假命題；
對(duì)于結(jié)論④，構(gòu)造一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q出來，判定其為真命題．

解答：解：結(jié)論①正確．理由如下：
如答圖1所示，設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線l將△ABC分割后，兩側(cè)圖形的周長分別為C₁，C₂（C₁，C₂中不含線段DE）．

在直線l繞點(diǎn)P連續(xù)的旋轉(zhuǎn)過程中，周長由C₁＜C₂（或C₁＞C₂）的情形，逐漸變?yōu)镃₁＞C₂（或C₁＜C₂）的情形．在此過程中，一定存在C₁=C₂的時(shí)刻．因此經(jīng)過點(diǎn)P至少存在一條直線平分△ABC的周長．故結(jié)論①正確；
結(jié)論②正確．理由如下：
如答圖1所示，設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線l將△ABC分割后，兩側(cè)圖形的面積分別為S₁，S₂．
在直線l繞點(diǎn)P連續(xù)的旋轉(zhuǎn)過程中，面積由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐漸變?yōu)镾₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形．在此過程中，一定存在S₁=S₂的時(shí)刻．因此經(jīng)過點(diǎn)P至少存在一條直線平分△ABC的面積．故結(jié)論②正確；
結(jié)論③錯(cuò)誤．理由如下：

如答圖2所示，AD、BE、CF為三邊的中線，則AD、BE、CF分別平分△ABC的面積，而三條中線交于重心G，則經(jīng)過重心G至少有三條直線可以平分△ABC的面積．故結(jié)論③錯(cuò)誤；
結(jié)論④正確．理由如下：
如答圖3所示，AD為△ABC的中線，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，MN∥BC，且

AM

AB

=

2

2

，MN與AD交于點(diǎn)Q．

∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴

S△AMN

S△ABC

=(

AM

AB

)2=(

2

2

)2=

1

2

，即MN平分△ABC的面積．
又∵AD為中線，
∴過點(diǎn)Q的兩條直線AD、MN將△ABC的面積四等分．
故結(jié)論④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，難度很大．解題關(guān)鍵是正確理解題干各命題中的“至少”、“至多”、“存在”等字眼．需要注意的是，對(duì)于結(jié)論①②，我們只需要判定其存在性的真假即可，不需要嚴(yán)格作出幾何圖形來驗(yàn)證（結(jié)論①②的幾何作圖超出了新課標(biāo)的范圍，僅供學(xué)有余力的同學(xué)研究）．