【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AF平分∠BAC,交BD于點(diǎn)F.
(1)求證:;
(2)點(diǎn)A1、點(diǎn)C1分別同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā),以相同的速度運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間后同時(shí)停止,如圖,A1F1平分∠BA1C1,交BD于點(diǎn)F1,過點(diǎn)F1作F1E⊥A1C1,垂足為E,請猜想EF1,AB與三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)A1E=6,C1E=4時(shí),則BD的長為 .
【答案】(1)見解析; (2)AB-EF1= A1C1 ,理由見解析;(3)
【解析】試題分析:
(1)如下圖,過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G,則由AF平分∠CAB和四邊形ABCD是正方形易證△AOF≌△AGF,△BGF是等腰直角三角形,由此可得AO=AG,F(xiàn)G=BG=OF,從而可得AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF,變形即可得到結(jié)論;
(2)如下圖,過F1作F1G1⊥A1B,過F1作F1H1⊥BC1由此可得四邊形F1G1BH1是矩形.
由已知條件易得EF1=G1F1=F1H1,從而可得F1是三角形A1BC1的內(nèi)心,由“直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三條邊長間的關(guān)系”結(jié)合CC1=AA1,即可求得EF1,AB與三者之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖,設(shè)CC1=AA1=x,由點(diǎn)F1是△A1BC1的內(nèi)心,點(diǎn)E1、G1、H1都是切點(diǎn)可得A1E=(A1C1+A1B-BC1)÷2,即A1E=[A1C1+(AB+x)-(AB-x)]÷2=(10+2x)÷2=6,
由此解得x=1;然后在Rt△A1BC1中,由A1B2+BC12=AC12,可得:(AB+1)2+(AB-1)2=100,解得AB的長即可由BD=AB求得BD的長.
試題解析:
(1)過F作FG⊥AB于G,
∵AF平分∠CAB,F(xiàn)O⊥AC,F(xiàn)G⊥AB,
∴OF=FG,
∵∠AOF=∠AGF=90°,AF=AF,OF=FG,
∴△AOF≌△AGF,
∴AO=AG,
直角三角形BGF中,∠DGA=45°,
∴FG=BG=OF,
∴AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF,
∴AB-OF=AC.
(2)過F1作F1G1⊥A1B,過F1作F1H1⊥BC1,則四邊形F1G1BH1是矩形.
∵BD平分∠ABC,A1F1平分∠BA1C1,
∴F1H1=F1G1=EF1,
即:F1是三角形A1BC1的內(nèi)心,
∴EF1=(A1B+BC1-A1C1)÷2…①
∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1,而CC1=A1A,
∴A1B+BC1=2AB,
因此①式可寫成:EF1=(2AB-A1C1)÷2,
即AB-EF1=A1C1.
(3)由(2)得,F1是三角形A1BC1的內(nèi)心,且E1、G1、H1都是切點(diǎn).
∴A1E=(A1C1+A1B-BC1)÷2,
如果設(shè)CC1=A1A=x,
A1E=[A1C1+(AB+x)-(AB-x)]÷2=(10+2x)÷2=6,
∴x=1,
在直角三角形A1BC1中,根據(jù)勾股定理有A1B2+BC12=AC12,
即:(AB+1)2+(AB-1)2=100,
解得AB=7,
∴BD=7.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著柴靜紀(jì)錄片《穹頂之下》的播出,全社會(huì)對空氣污染問題越來越重視,空氣凈化器的銷量也大增,商社電器從廠家購進(jìn)了A,B兩種型號(hào)的空氣凈化器,已知一臺(tái)A型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)比一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)多300元,用7500元購進(jìn)A型空氣凈化器和用6000元購進(jìn)B型空氣凈化器的臺(tái)數(shù)相同.
(1)求一臺(tái)A型空氣凈化器和一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)各為多少元?
(2)在銷售過程中,A型空氣凈化器因?yàn)閮艋芰?qiáng),噪音小而更受消費(fèi)者的歡迎.為了增大B型空氣凈化器的銷量,商社電器決定對B型空氣凈化器進(jìn)行降價(jià)銷售,經(jīng)市場調(diào)查,當(dāng)B型空氣凈化器的售價(jià)為1800元時(shí),每天可賣出4臺(tái),在此基礎(chǔ)上,售價(jià)每降低50元,每天將多售出1臺(tái),如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元,請問商社電器應(yīng)將B型空氣凈化器的售價(jià)定為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A在x軸上,與y軸的交點(diǎn)B(0,-1),且b=-4ac。
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式
(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)C,使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A?若不存在請說明理由;若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出此時(shí)圓的圓心點(diǎn)P的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(3,-2)和點(diǎn)B(n,6)。
(1)n= ;
(2)求這兩個(gè)函數(shù)解析式
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一間攝影展覽廳,其東、西面各有一個(gè)入口A、B,南面為出口C,北面分別有兩個(gè)出口D、E,攝影愛好者鄭浩任選一個(gè)入口進(jìn)入展覽廳,參觀結(jié)束后,任選一個(gè)出口離開。
(1)鄭浩從進(jìn)入到離開共有多少種可能的結(jié)果?請畫出樹形圖;
(2)求出鄭浩從入口A進(jìn)入展覽廳并從北面出口離開的概率。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】ABCD中,E是CD邊上一點(diǎn),
(1)將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使AD、AB重合,得到△ABF,如圖1所示.觀察可知:與DE相等的線段是 ,∠AFB=∠
(2)如圖2,正方形ABCD中,P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠PAQ=45°,試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)題中,連接BD分別交AP、AQ于M、N,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明BM2+DN2=MN2嗎?
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