Question

閱讀下面的問題及解答．
已知：如圖①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于O點，則∠BOC=90°+

1

2

∠A=

1

2

×180°+

1

2

∠A；
如圖②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分線交于O₁、O₂，則∠BO₁C=

2

3

×180°+

1

3

∠A，∠BO₂C=

1

3

×180°+

2

3

∠A，
根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）你能猜想出它的規(guī)律嗎？（n等分時，內(nèi)部有n-1個點）．∠BO₁C=

 

（用n的代數(shù)式表示），
∠BO_n-1C=

 

（圖③）．
（2）根據(jù)你的猜想，取n=4時，證明∠BO₃C的度數(shù)成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中的特例，觀察兩部分前邊的倍數(shù)和n等分線間的關(guān)系，從而寫出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和四等分角進行證明．

解答：解：（1）∠BO₁C=

n-1

n

×180°+

1

n

∠A，
∠BO_n-1C=

1

n

×180°+

n-1

n

∠A．

（2）當n=4時，∠BO₃C=

1

4

×180°+

3

4

∠A．
證明：等式左邊=∠BO₃C=180°-（∠O₃BC+∠O₃CB）=180°-

3

4

（∠B+∠C）
=180°-

3

4

（180°-∠A）=

1

4

×180°+

3

4

∠A=等式右邊．
∴當n=4時，∠BO₃C=

1

4

×180°+

3

4

∠A．

點評：此題綜合運用了三角形的內(nèi)角和定理和n等分角的概念．