Question

如圖1，已知：拋物線(xiàn)y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線(xiàn)是y=

1

2

x-2，連接AC．
（1）B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B

（4，0）

、C

（0，-2）

，拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為

y=

1

2

x²-

3

2

x-2

；
（2）求證：△AOC∽△COB；
（3）在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出來(lái)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在該拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得S_△ABC=S_△ABQ？若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在直線(xiàn)的解析式中，令y=0，解得橫坐標(biāo)，即可求得B的坐標(biāo)，令x=0，解得y的值，則可以求得C的坐標(biāo)，把B、C的坐標(biāo)代入解析式，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得A的坐標(biāo)，則OA、OB、OC的長(zhǎng)度即可求得，然后根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似即可證得；
（3）A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，則BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；
（4）首先求得△ABC的面積，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得Q的縱坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式即可求得Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在y=

1

2

x-2中，令y=0，則

1

2

x-2=0，解得x=4，則B的坐標(biāo)是（4，0）．
令x=0，則y=-2，因而C的坐標(biāo)是（0，-2）．
把B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得：

c=-2 8+4b-2=0

，解得：

b=- 3 2 c=-2

，
則函數(shù)的解析式是：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）在y=

1

2

x²-

3

2

x-2中，令y=0，則

1

2

x²-

3

2

x-2=0，解得：x=-1或4，則A的坐標(biāo)是（-1，0）．
因而OA=1，OB=4，OC=2．
則

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB；

（3）A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，
則連接BC，與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是：x=-

- 3 2

2× 1 2

=

3

2

，
把x=

3

2

代入y=

1

2

x-2得：y=

3

4

-2=-

5

4

，
則P的坐標(biāo)是：（

3

2

，-

5

4

）；

（4）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×5×2=5，
S_△ABC=S_△ABQ=5，
∴設(shè)Q的縱坐標(biāo)是m，則

1

2

AB•|m|=5，即

1

2

×5|m|=5，
解得：m=±2，
當(dāng)m=2時(shí)，

1

2

x²-

3

2

x-2=2，解得：x=

3± 41

2

，
當(dāng)m=-2時(shí)，

1

2

x²-

3

2

x-2=-2，解得：x₁=0，x₂=3．
則Q的坐標(biāo)是：（

3+ 41

2

，2）或（

3- 41

2

，2）或（0，-2）或（3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式和三角形的面積求法．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．