精英家教網(wǎng)如圖1,已知:拋物線y=
1
2
x2+bx+c
與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線是y=
1
2
x-2
,連接AC.
(1)寫出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo),并求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG(頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上)?若能,求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
{拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
)
}.
分析:(1)根據(jù)直線BC的解析式,可確定B、C的坐標(biāo),代入拋物線的解析式中,即可確定待定系數(shù)的值.
(2)由(1)得到的拋物線解析式,可求得A點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得到AB、AC、BC的長(zhǎng),然后根據(jù)這三邊的長(zhǎng),來(lái)判斷△ABC的形狀.
(3)此題應(yīng)分兩種情況考慮:
①矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在AB邊上(設(shè)這兩點(diǎn)為D、E),首先設(shè)出DG的長(zhǎng)為m,利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例線段,可求得GF的表達(dá)式,進(jìn)而可根據(jù)矩形的面積公式求出關(guān)于矩形的面積和m的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的m值,從而確定出矩形的四頂點(diǎn)的坐標(biāo);
②矩形有一個(gè)頂點(diǎn)在AB邊上(設(shè)為D),此時(shí)C、F重合,方法同①,首先設(shè)DE=n,由△ADG∽△ABC求出DG的長(zhǎng),進(jìn)而根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形的面積和n的函數(shù)關(guān)系式,從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得矩形的最大面積和對(duì)應(yīng)的n值,進(jìn)而確定矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)直線y=
1
2
x-2
中,令y=0,則x=4;令x=0,則y=-2;
故B(4,0),C(0,-2);
由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-2),故c=-2;
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=
1
2
x2-bx-2中,得:b=-
3
2

∴拋物線的解析式為y=
1
2
x2-
3
2
x-2


(2)根據(jù)(1)中的函數(shù)解析式可知A(-1,0),B(4,0),C(0,-2);
則AB=5,AC=
5
,BC=2
5
;精英家教網(wǎng)
故AC2+BC2=5+20=25=AB2
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.

(3)分兩種情況考慮:
①如圖①所示,矩形DEFG中D、E在AB邊上;
設(shè)DG=EF=m;
由于FG∥x軸,則△CGF∽△CAB,
2-m
2
=
FG
5

解得FG=5-
5
2
m;
故矩形的面積S=DG•FG=(5-
5
2
m)m=-
5
2
m2+5m,
即S=-
5
2
(m-1)2+
5
2
,
故m=1時(shí),矩形的面積最大為2.5;
此時(shí)D(-
1
2
,0),E(2,0),G(-
1
2
,-1),F(xiàn)(2,-1);
②如圖②所示,矩形DEFG中,F(xiàn)、C重合,D在AB邊上;
設(shè)DE=CG=n,同①可得:
5
-n
5
=
DG
2
5

即DG=2
5
-2n;
故矩形的面積S=DE•DG=(2
5
-2n)n=-2(n-
5
2
2+
5
2
;
即當(dāng)n=
5
2
時(shí),矩形的最大面積為2.5;
此時(shí)BD=5×
DE
5
=
5
2
,OD=OB-BD=
3
2

即D(
3
2
,0);
綜上所述,矩形的最大面積為2.5,此時(shí)矩形在AB邊上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-
1
2
,0),(2,0)或(
3
2
,0).
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、矩形面積的計(jì)算方法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí),要注意(3)題中,矩形的擺放方法有兩種,不要漏解.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知:拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線是y=
1
2
x-2,連接AC.
(1)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(
 
,
 
)、C(
 
,
 
),拋物線的函數(shù)關(guān)系式為
 
;
(2)判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFC(頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上)?若能,求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知:拋物線y=
1
2
x2+bx+c
與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線是y=
1
2
x-2
,連接AC.
(1)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B
(4,0)
(4,0)
、C
(0,-2)
(0,-2)
,拋物線的函數(shù)關(guān)系式為
y=
1
2
x2-
3
2
x-2
y=
1
2
x2-
3
2
x-2
;
(2)求證:△AOC∽△COB;
(3)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PAC的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出來(lái),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得S△ABC=S△ABQ?若存在,請(qǐng)求出來(lái);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知:拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸x=1與x軸交于點(diǎn)E,A(-1,0).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)在對(duì)稱軸上找點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到A、C兩點(diǎn)的距離之和最小,并求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:期末題 題型:解答題

如圖1,已知:拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)的直線是,連結(jié)AC.
(1)寫出B,C兩點(diǎn)坐標(biāo),并求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG(頂點(diǎn)D,E,F(xiàn),G在△ABC各邊上)?若能,求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是]

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