已知拋物線經(jīng)過A(2,0). 設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點B.
(1)求b的值,求出點P、點B的坐標(biāo);
(2)如圖,在直線 上是否存在點D,使四邊形OPBD為平行四邊形?若存在,求出點D的坐
標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點M,使△AMP≌△AMB?如果存在,試舉例驗證你的猜想;如果不存在,試說明理由.
(1),P的坐標(biāo)為(4,),B的坐標(biāo)是(6,0)(2)D點的坐標(biāo)為(2, )(3)存在,證明見解析
【解析】解:(1)∵拋物線經(jīng)過A(2,0),
∴,解得。
∴拋物線的解析式為。
∵,
∴頂點P的坐標(biāo)為(4,)。
令y=0,得,解得。
∴點B的坐標(biāo)是(6,0)。
(2)在直線 上存在點D,使四邊形OPBD為平行四邊形。理由如下:
設(shè)直線PB的解析式為,把B(6,0),P(4, )分別代入,得
, 解得。
∴直線PB的解析式為。
又∵直線OD的解析式為
∴直線PB∥OD。
設(shè)直線OP的解析式為,把P(4, )代入,得
,解得。
如果OP∥BD,那么四邊形OPBD為平行四邊形。
設(shè)直線BD的解析式為,將B(6,0)代入,得
,解得。
∴直線BD的解析式為。
聯(lián)立方程組,解得。
∴D點的坐標(biāo)為(2, )。
(3)符合條件的點M存在。驗證如下:
過點P作x軸的垂線,垂足為為C,
則PC=,AC=2,
由勾股定理,可得AP=4,PB=4。
又∵AB=4,∴△APB是等邊三角形。
作∠PAB的平分線交拋物線于M點,連接PM,BM。
∵AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,∴△AMP≌△AMB.(SAS)。
因此即存在這樣的點M,使△AMP≌△AMB.。
(1)由拋物線經(jīng)過A(2,0),代入即可求出b的值;從而得出拋物線的解析式,化為頂點式即可求出頂點P的坐標(biāo);令y=0,即可求出點B的坐標(biāo)。
(2)用待定系數(shù)法,求出直線PB、BD的解析式,聯(lián)立和,解之即得點D的坐標(biāo)。
(3)由勾股定理求出AP、BP和AB的長,證出△APB是等邊三角形,即可作BP的中垂線AM交BP于點M,點M即為所求。
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