Question

20、如果正整數(shù)n有以下性質(zhì)：n的八分之一是平方數(shù)，n的九分之一是立方數(shù)，它的二十五分之一是五次方數(shù)，那么n就稱為“希望數(shù)”，則最小的希望數(shù)是

2¹⁵•3²⁰•5¹²

．

Answer 1

分析：設(shè)最小的希望數(shù)是n，則n能被8，9，25整除，8，9，25兩兩互質(zhì)，則n=8^a•9^b•25^c，由n的八分之一是平方數(shù)，n的九分之一是立方數(shù)，它的二十五分之一是五次方數(shù)，得a是奇數(shù)，b和c是偶數(shù)，b除以3余數(shù)是1，a和c能被3整除，c除以5余數(shù)是1，a和b能被5整除，所以a最小是5，b最小是10，c最小是6．

解答：解：設(shè)最小的希望數(shù)是n，則n能被8，9，25整除，8，9，25兩兩互質(zhì)既然是最小的，就不應(yīng)該有其它的因數(shù)了，
n=8^a•9^b•25^c因?yàn)閚的八分之一是平方數(shù)，所以a是奇數(shù)，b和c是偶數(shù)因?yàn)閚的九分之一是立方數(shù)，
所以b除以3余數(shù)是1，a和c能被3整除因?yàn)閚的二十五分之一是五次方數(shù)，
所以c除以5余數(shù)是1，a和b能被5整除所以a最小是5，b最小是10，c最小是6，
所以最小的希望數(shù)是2¹⁵•3²⁰•5¹²=30233088000000．
故答案為：2¹⁵•3²⁰•5¹²．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義的題目，考查了一個(gè)數(shù)的完全平方，以及數(shù)的整除，難度較大．