Question

如果正整數(shù)n有以下性質(zhì)：n的八分之一是平方數(shù)，n的九分之一是立方數(shù)，它的二十五分之一是五次方數(shù)，那么n就稱為“希望數(shù)”，則最小的希望數(shù)是

 

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Answer 1

分析：先根據(jù)n的八分之一是平方數(shù)，n的九分之一是立方數(shù)，它的二十五分之一是五次方數(shù)可知，n能被質(zhì)因數(shù)2、3、5整除，故可設(shè)n=2^a×3^b×5^c，求出a、b、c的值代入n的式子即可．

解答：解：設(shè)n=2^a×3^b×5^c
a能被3和5整除，被2除余1，最小為15；
b能被2和5整除，被3除余2，b最小為20；
c能被2和3整除，被5除余2，c最小為12；
所以n最小為2¹⁵×3²⁰×5¹²；

n

8

=（2⁶×3¹⁰×5⁶）²；

n

9

=（2⁵×3⁶×5⁴）³；

n

25

=（2³×3⁴×5²）⁵．

點(diǎn)評：本題考查的是數(shù)的整除性問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出n的表達(dá)式．