Question

如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形：△ABD，△BCE，△ACF，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求證：四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFED是矩形？
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFED是菱形？
（4）對(duì)于任意△ABC，?AFED是否總存在？

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）當(dāng)一個(gè)圖中出現(xiàn)2個(gè)等邊三角形時(shí)就可以找出一對(duì)全等三角形，可得出一對(duì)對(duì)邊相等，進(jìn)而往四邊形ADEF是平行四邊形方面進(jìn)行證明．
（2）四邊形ADEF是矩形，那么它的每個(gè)內(nèi)角是90°，那么可利用在點(diǎn)A處組成的周角算出∠BAC的度數(shù)．
（3）AB=AC，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（4）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)四邊形不存在．

解答：（1）證明：四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形；

（2）解：若四邊形ADEF為矩形，則∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴當(dāng)△ABC滿足∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形；

（3）解：當(dāng)∠BAC≠60°且AB=AC時(shí)，四邊形AFED是菱形，
∵此時(shí)AB=AC=AF=AD，四邊形AFED是平行四邊形，
∴四邊形AFED是菱形；

（4）解：當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，本題主要應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．