Question

已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求證：BE+DF=AE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長CB到G，使BG=DF，連接AG，由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到AB=AD，AB∥CD，∠D=∠ABC=90°，進而得到∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°-∠ABC=90°，利用SAS得到三角形ABG與三角形ADG全等，利用全等三角形對應角相等得到∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，等量代換得到∠G=∠EAG，利用等角對等邊得到AE=GE，由GE=BE+BG，等量代換即可得證．

解答：解：延長CB到G，使BG=DF，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，AB∥CD，∠D=∠ABC=90°，
∴∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°-∠ABC=90°，
在△ABG和△ADG中，

AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF

，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，
∴∠G=∠5=∠1+∠3=∠4+∠3=∠EAG，
∴AE=GE=BE+GB=BE+DF．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．