已知關(guān)于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0…①的兩個不相等實數(shù)根中有一個根為0.是否存在實數(shù)k,使關(guān)于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0…②的兩個實數(shù)根x1,x2之差的絕對值為1?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:本題先要從第一個方程的判別式及有一個根為0出發(fā),確定實數(shù)m的值,然后將m的值代入第二個方程并將其化簡,再利用根與系數(shù)的關(guān)系根據(jù)題意看看能否找出k的值.
解答:解:把x=0代入得m2-2m-3=0.
解得m=3或-1.
∵方程有兩個不相等實數(shù)根.
∴[-2(m+1)]2-4×(m2-2m-3)>0.
解得m>-1.
∴m=3.
∵x1,x2之差的絕對值為1.
∴(x1-x2)2=1.
∴(x1+x2)2-4x1x2=1.
(k-3)2-4(-k+4)=1.
解得k1=-2,k2=4.
∵當(dāng)k=-2時,△=[-(k-3)]2-4(-k+4)
=k2-2k-7
=(-2)2-2×(-2)-7
=1>0
當(dāng)k=4時,△=k2-2k-7=42-2×4-7=1>0.
∴存在實數(shù)k=-2或4,使得方程②的兩個實數(shù)根之差的絕對值為1.
點評:本題是一個探索存在性問題,利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,按照題意直接推理是解這類問題的基本方法.