Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形．

（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；

（2）如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為　 　度時(shí)，邊AD′落在AE上；

②在①的條件下，延長DD’交CE于點(diǎn)P，連接BD′，CD′．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

Answer 1

【答案】解：（1）見詳解；（2）① 60；②當(dāng)AC=2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等.理由見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)；
②當(dāng)AC=2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四邊形ABDD′是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的對(duì)邊平行可得DP∥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠PCD′=∠ACD′=30°，從而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角邊角”證明△BDD′與△CPD′全等．

(1)證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形

∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

，

∴△BAE≌△DAC(SAS)，

∴BE=CD；

(2)①∵∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAE=180°60°×2=60°，

∵邊AD′落在AE上，

∴旋轉(zhuǎn)角=∠DAE=60°.

故答案為：60.

②當(dāng)AC=2AB時(shí),△BDD′與△CPD′全等.

理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知,AB′與AD重合，

∴AB=BD=DD′=AD′，

∴四邊形ABDD′是菱形，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=12×60°=30°,DP∥BC，

∵△ACE是等邊三角形，

∴AC=AE,∠ACE=60°，

∵AC=2AB，

∴AE=2AD′，

∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，

又∵DP∥BC，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，

在△BDD′與△CPD′中，

，

∴△BDD′≌△CPD′(ASA).