Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax 2＋bx＋c的頂點(diǎn)為M（1，4），與x軸的右交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，且S△ABC ＝3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D是y軸上一點(diǎn)，將點(diǎn)D繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E，若點(diǎn)E恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)F，問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝－x 2＋2x＋3 （或?qū)戫旤c(diǎn)式 ）；（2）D（0，4+）或（0，4-）；；（3）P1（，0）P2（－3，0）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)B、C是對稱點(diǎn)確定BC=2，然后再根據(jù)面積確定OB的長，從而確定出點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得解析式；

（2）設(shè)D（0，d），然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定出點(diǎn)E坐標(biāo)，由點(diǎn)E在拋物線上，代入進(jìn)行求解即可得；

（3）根據(jù)題意畫出所有滿足條件的圖形，然后分情況進(jìn)行求解即可.

試題解析：(1）由題意可知對稱軸為x=1，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)C是對稱點(diǎn)，所以BC=2，

又S△ABC ＝=3，所以OB＝3，所以點(diǎn)B（0，3），

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+4，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），

∴a+4=3，

∴a=-1，

∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；

（2）由點(diǎn)B與點(diǎn)C是對稱點(diǎn)，所以點(diǎn)C（2，3），

如圖，設(shè)點(diǎn)D（0，d），有如下兩種情況，則有BD=|3-d|，

由已知易得△CBD≌△CFE，∴CF=CB=2，EF=BD=|3-d|，

所以E（5-d，1），

由點(diǎn)E恰好落在拋物線上，則有：1=-（5-d-1）2+4，

解得：d=4±，

所以D（0，4+）或（0，4-）；

（3）令y=0，0=-（x-1）2+4，解得：x=3或x=-1，

所以A（3，0），

因?yàn)?/span>B（0，3），所以OA＝OB，所以∠BAO=45°，AB=3，

∵BC//OA，∴∠CBA=∠BAO=45°，

∵對稱軸為x=1，∴F（1，2），AF=2 ，

如圖，若△PAF∽△CAB，則有PA：CB=AF：AB，∴PA=，

∴OP=OA-PA=，∴P（，0）；

如圖，若△PAF∽△ABC，則有PA：AB=AF：BC，∴PA=6，

∴OP=PA-AO=3，∴P（-3，0），

綜上，P1（，0），P2（-3，0）.