Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，坐標為（a，b），直線l的解析式為y=2x-4．
（1）畫出點P以點O為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點P′；
（2）猜想點P′的坐標，并證明你的結(jié)論；
（3）求出直線l繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的直線l′的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于以點O為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所以對應(yīng)點P′應(yīng)該在第二象限，因此可以確定位置并畫出圖象；
（2）P′（-b，a）．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可以知道OP=OP′，又旋轉(zhuǎn)90°，因此可以證明Rt△AOP≌Rt△A′OP′，再利用全等三角形的性質(zhì)就可以得到P′的坐標；
（3）首先確定直線l與坐標軸的交點坐標，然后利用（2）的結(jié)論即可確定旋轉(zhuǎn)后它們的坐標，再利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)解析式．
解答：解：（1）如圖所示；

（2）P′（-b，a）．
證明：過P點分別x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，
過P′點分別x軸、y軸的垂線，垂足分別為B′、A′，
∵∠POP′=90°，
∴∠AOP=∠A′OP′，
又∵OP=OP′，
∴Rt△AOP≌Rt△A′OP′，
∴OA=OA′，AP=A′P′，
∴OA′=OA=a，OB′=P′A′=PA=OB=b，
又∵P′在第二象限，
∴P′的坐標為（-b，a）；

（3）由圖象知直線l與x軸交點為M（2，0），與y軸交點為N（0，-4）．
由（2）得：點M（2，0）、N（0，-4）繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點分別是M′（0，2）、N′（4，0），
∴直線M′N′就是直線l繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)直線，
解得直線l′的解析式為y=-x+2．
點評：此題比較復(fù)雜，把旋轉(zhuǎn)知識放在坐標系的背景中，首先找一個點旋轉(zhuǎn)后的坐標，然后利用點的坐標特點來找旋轉(zhuǎn)直線的解析式．