Question

已知，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊），且AB=4．
（1）求k值；
（2）該拋物線與直線交于C、D兩點(diǎn)，求S_△ACD；
（3）該拋物線上是否存在不同于A點(diǎn)的點(diǎn)P，使S_△PCD=S_△ACD？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）若該拋物線上有點(diǎn)P，使S_△PCD=tS_△ACD，拋物線上滿足條件的P點(diǎn)有2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)時(shí)，分別直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，x₁、x₂＞0，則：
x₁+x₂=2k，x₁x₂=2（k+2）=2k+4
AB=|x₁-x₂|==4，即：k²-2k-8=0
解得：k₁=-2，k₂=4
∵x₁+x₂＞0，即k＞0
∴k=4．

（2）由（1）知，拋物線的解析式：y=x²-4x+6，點(diǎn)A（2，0）、B（6，0）；
聯(lián)立直線CD和拋物線的解析式，有：
，
解得、
即：C（1，）、D（8，6）．
過A作直線AE∥y軸，交直線CD于E，則E（2，3），AE=3；
S_△ACD=AE×|y_D-y_C|=×3×7=．

（3）如右圖，設(shè)直線CD與y軸的交點(diǎn)為G，過點(diǎn)A作l₁∥CD交y軸于H，取GH=GL，過L作l₂∥CD交y軸于L；
設(shè)直線l₁：y=x+b₁，代入A（2，0），得：
×2+b₁=0，b₁=-1
即，直線l₁：y=x-1，H（0，-1），GL=GH=3，L（0，5）；
同上，可求得，直線l₂：y=x+5；
聯(lián)立直線l₁與拋物線的解析式，得：
，
解得、
即：P₁（7，）；
聯(lián)立直線l₂與拋物線的解析式，得：
，
解得、
即：P₂（，）、P₃（，）；
綜上，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為 P₁（7，）、P₂（，）、P₃（，）．

（4）當(dāng)滿足條件的P點(diǎn)有三個(gè)時(shí)，如右圖：
直線l₃∥CD，且直線l₃與拋物線只有唯一交點(diǎn)P；
設(shè)直線l₃：y=x+b₃，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x+b₃=x²-4x+6，即：x²-9x+12-2b₃=0
△=81-4×（12-2b₃）=0，解得：b₃=-
即，直線l₃：y=x-，P（，-）；
過點(diǎn)P作直線PF∥y軸，交直線CD于F，則F（，）、PF=；
S_△PCD=PF×|y_D-y_C|=××7=，t===；
綜上上面的計(jì)算結(jié)果和圖形來看：
當(dāng)0＜t＜時(shí)，P點(diǎn)有四個(gè)；
當(dāng)t=時(shí)，P點(diǎn)有三個(gè)；
當(dāng)t＞時(shí)，P點(diǎn)有兩個(gè)．
分析：（1）此題要從AB=4入手，若設(shè)A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂（x₁、x₂＞0），那么顯然有等量關(guān)系：|x₁-x₂|=4，即==4，而x₁+x₂、x₁x₂可由k表達(dá)出來，依據(jù)上面的等量關(guān)系即可得出k的值．
（2）首先聯(lián)立直線CD和拋物線的解析式求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)從圖上可看出△ACD是一個(gè)不規(guī)則的三角形，所以可過A作y軸的平行線，交直線CD于E，那么以線段AE為底，C、D橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得出△ACD的面積．
（3）若設(shè)直線CD與y軸的交點(diǎn)為G，過點(diǎn)A作直線l₁∥CD交y軸于H，然后在y軸上取點(diǎn)L，使得GL=GH，再過L作直線l₂∥CD，那么直線l₁、l₂到直線CD的距離都等于點(diǎn)A到直線CD的距離，所以它們與拋物線的交點(diǎn)都是符合條件的P點(diǎn)．
（4）通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，在直線CD上方肯定有兩個(gè)P點(diǎn)，所以只考慮直線CD下方的P點(diǎn)個(gè)數(shù)，這就要抓住P點(diǎn)有三個(gè)或直線CD下方有一個(gè)P點(diǎn)的情況：P為平行于CD的直線與拋物線的唯一交點(diǎn)；若上述情況（P點(diǎn)有三個(gè)）中，t=α，那么：P點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，t＞α；P點(diǎn)有三個(gè)時(shí)，0＜t＜α．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系以及三角形面積的解法；最后一題的難度較大，重點(diǎn)是抓住直線CD下方P點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，這就要從作圖入手來進(jìn)行分析，由于涉及的情況較多，是容易漏解的地方．