Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=45°，M是BC延長線上一點(diǎn)，△AMN∽△ABC，MN交AC延長線于點(diǎn)P，連接CN．
（1）請盡可能多找出圖中的相似三角形（題中給出的除外）；
（2）你能找到CM、CN與CA的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）先證明△ABM和△ACN，找出相等角即可解題；
（2）易證CN=BM，BC=

2

CA，即可求得CM、CN與CA的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）如圖，

∵△AMN∽△ABC，AB=AC，∴AM=AN，
∵∠BAM=∠BAC+∠CAM，∠CAN=∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，

AB=AC ∠BAM=∠CAN AM=AN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ANC=∠AMB，∠NCA=∠B=45°，
∴∠CAM=∠CNM，
∴△ACM∽△AMP∽△NCP，
∴△ACQ∽△NMQ，
∴△ANQ∽△CMQ，
∴△ANP∽△CMP，
（2）∵△ABM≌△ACN，
∴CN=BM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴BC=

2

CA，
∴CN=BM=BC+CM=

2

CA+CM，
∴CN=

2

CA+CM．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)．