Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；④EF=AP．上述結(jié)論始終正確的有

 

（填寫序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：AP⊥BC，AP=

1

2

BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE與△CPF中，

∠PAE=∠PCF  AP=CP  ∠EPA=∠FPC

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC，①②③正確；
而AP=

1

2

BC，當(dāng)EF不是△ABC的中位線時(shí)，則EF不等于BC的一半，EF=AP，
∴故④不成立．
故始終正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．