Question

【題目】如圖①，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F(xiàn)為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．

（1）求證：DM=DA；

（2）如圖②，點G在BE上，且∠BDG=∠C．求證：△DEG∽△ECF；

（3）在（2）的條件下，已知EF=2，CE=3，求GE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AMD=∠AFE，等量代換得到∠AMD=∠A，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AC，根據(jù)題意證明∠GDE=∠FEC，根據(jù)相似三角形的判定定理證明；

（3）證明△BDG∽△BED，得到BD2=BEBG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和題意求出BD=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

（1）證明：∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）證明：∵D、E分別是AB、BC的中點，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C，

∴△DEG∽△ECF；

（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴=，即BD2=BEBG，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四邊形DEFM是平行四邊形，

∴EF=DM，

又∵DM=AD，AD=BD，

∴EF=BD=2，

∵BE=CE，EF=2，CE=3，

∴22=3BG，

∴BG=，

∴GE=3﹣=．