Question

已知：△ABC，△DEF都是等邊三角形，M是BC與EF的中點，連接AD，BE．
（1）如圖1，當EF與BC在同一條直線上時，直接寫出AD與BE的數量關系和位置關系；
（2）△ABC固定不動，將圖1中的△DEF繞點M順時針旋轉α（0°≤α≤90°）角，如圖2，判斷（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請加以證明；若不成立，說明理由；
（3）△ABC固定不動，將圖1中的△DEF繞點M旋轉α（0°≤α≤90°）角，作DH⊥BC于點H．設BH=x，線段AB，BE，ED，DA所圍成的圖形面積為S．當AB=6，DE=2時，求S關于x的函數關系式，并寫出相應的x的取值范圍．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）作DG⊥AB于點G，作EH⊥AB于點H．則四邊形DGHE是矩形，則在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的長，即可求得數量關系，利用三線合一定理即可證得位置關系；
（2）連接DM，AM，然后證明△ADM∽△BEM，然后延長BE交AM于點G，交AD于點K，證得∠MAD=∠MBE，∠BGM=∠AGK，即可證得垂直關系；
（3）分當△DEF繞點M順時針旋轉α（0°≤α≤90°）角和當△DEF繞點M逆時針旋轉α（0°≤α≤90°）角時，兩種情況進行討論，根據△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方，以及面積的和差即可求得函數的解析式．

解答：解：（1）作DG⊥AB于點G，作EH⊥AB于點H．則四邊形DGHE是矩形（如圖1），
設DG=HE=x，
在直角△ADG中，AD=

DG

sin30°

=2x，
在直角△BEH中，BE=

HE

sin60°

=

2x

3

，
則

AD

BE

=

3

．
連接AM、DM，則AM⊥BC于點M，同理DM⊥BC于點M．
則AM和DM重合，
則AD⊥BE；

（2）證明：連接DM，AM．
在等邊三角形ABC中，M為BC的中點，
∴AM⊥BC，∠BAM=

1

2

∠BAC=30°，

AM

BM

=

3

．
∴∠BME+∠EMA=90°．
同理，

DM

EM

=

3

，∠AMD+∠EMA=90°．
∴

AM

BM

=

DM

EM

，∠AMD=∠BME．
∴△ADM∽△BEM．
∴

AD

BE

=

DM

EM

=

3

．
延長BE交AM于點G，交AD于點K，過點D作DH⊥BC于點H．
∴∠MAD=∠MBE，∠BGM=∠AGK．
∴∠GKA=∠AMB=90°．
∴AD⊥BE．

（3）解：（ⅰ）當△DEF繞點M順時針旋轉α（0°≤α≤90°）角時，（如圖2），
∵△ADM∽△BEM，
∴

S△ADM

S△BEM

=（

AD

BE

）²=3．
∴S_△BEM=

1

3

S_△ADM
∴S=S_△ABM+S_△ADM-S_△BEM-S_△DEM
=S_△ABM+

2

3

S_△ADM-S_△DEM
=

1

2

×3×3

3

+

2

3

×

1

2

×3

3

（x-3）-

1

2

×1×

3

=

3

x+

3

．
∴s=

3

x+

3

 （3≤x≤3+

3

）．
（ⅱ） 當△DEF繞點M逆時針旋轉α（0°≤α≤90°）角時（如圖3），同理△ADM∽△BEM，
∴

S△BEM

S△ADM

=（

BM

AM

）²=

1

3

．
∴S_△BEM=

1

3

S_△ADM．
∴s=S_△ABM+S_△BEM-S_△ADM-S_△DEM
=S_△ABM-

2

3

S_△ADM-S_△DEM
=

9 3

2

-

2

3

×

1

2

×3

3

（3-x）+

3

2

=

3

x+

3

．
∴s=

3

x+

3

（3-

3

≤x≤3）．
綜上，s=

3

x+

3

（3-

3

≤x≤3+

3

）．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線，求得函數的解析式是關鍵．