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【題目】設平面內一點到等邊三角形中心的距離為d,等邊三角形的內切圓半徑為r,外接圓半徑為R .對于一個點與等邊三角形,給出如下定義:滿足rdR的點叫做等邊三角形的中心關聯(lián)點.在平面直角坐標系xOy中,等邊△ABC的三個頂點的坐標分別為A(0,2),B(﹣,﹣1),C(,﹣1).

(1)已知點D(2,2),E,1),F,﹣1).在D,EF中,是等邊△ABC的中心關聯(lián)點的是 ;

(2)如圖1,過點A作直線交x軸正半軸于M,使∠AMO=30°.

①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關聯(lián)點Pmn),求m的取值范圍;

②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b,當b滿足什么條件時,直線y=kx+b總存在等邊△ABC的中心關聯(lián)點;(直接寫出答案,不需過程)

(3)如圖2,點Q為直線y=﹣1上一動點,⊙Q的半徑為.當Q從點(﹣4,﹣1)出發(fā),以每秒1個單位的速度向右移動,運動時間為t秒.是否存在某一時刻t,使得⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點?如果存在,請直接寫出所有符合題意的t的值;如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)E,F;(2)①0≤m,②﹣ b≤2;(3)存在,t=

【解析】試題解析:(1)根據等邊三角形的中心關聯(lián)點的定義,可得 E、F 是等邊三角形的中心關聯(lián)點

2①依題意A0,2),M,0)可求得直線AM的解析式為,所以OAE為等邊三角形,所以AE邊上的高長為.當點PAE上時, OP≤2.所以當點PAE上時,點P都是等邊ABC的中心關聯(lián)點.所以0≤m;

②同b≤2;

3t=

解:(1E,F;

2①解:依題意A0,2),M,0.

可求得直線AM的解析式為.

經驗證E在直線AM.

因為OE=OA=2MAO=60°,

所以OAE為等邊三角形,

所以AE邊上的高長為.

當點PAE上時, OP≤2.

所以當點PAE上時,點P都是等邊ABC的中心關聯(lián)點.

所以0≤m;

b≤2;

3t=

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