Question

如圖，已知直線l1∥l2，線段AB在直線l1上，BC垂直于l1交l2于點C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點的一點，過點P的直線分別交l2、l1于點D、E（點A、E位于點B的兩側(cè)），滿足BP=BE，連接AP、CE．

（1）求證：△ABP≌△CBE；

（2）連結(jié)AD、BD，BD與AP相交于點F．如圖2．

①當(dāng)=2時，求證：AP⊥BD；

②當(dāng)=n（n＞1）時，設(shè)△PAD的面積為S1，△PCE的面積為S2，求的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析

?證明見解析

?n+1

【解析】

試題分析：（1）由BC垂直于l1可得∠ABP=∠CBE，由SAS即可證明；

（2）①延長AP交CE于點H，由（1）及已知條件可得AP⊥CE，△CPD∽△BPE，從而有DP=PE，得出四邊形BDCE是平行四邊形，從而可得到CE//BD，問題得證；

②由已知條件分別用S表示出△PAD和△PCE的面積，代入即可．

試題解析：（1）∵BC⊥直線l1，

∴∠ABP=∠CBE，

在△ABP和△CBE中

∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）①延長AP交CE于點H，

∵△ABP≌△CBE，

∴∠PAB=∠ECB，

∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°，

∴AP⊥CE，

∵=2，即P為BC的中點，直線l1//直線l2，

∴△CPD∽△BPE，

∴==，

∴DP=PE，

∴四邊形BDCE是平行四邊形，

∴CE//BD，

∵AP⊥CE，

∴AP⊥BD；

②∵=N

∴BC=n•BP，

∴CP=（n﹣1）•BP，

∵CD//BE，

∴△CPD∽△BPE，

∴==n﹣1，

即S2=（n﹣1）S，

∵S△PAB=S△BCE=n•S，

∴S△PAE=（n+1）•S，

∵==n﹣1，

∴S1=（n+1）（n﹣1）•S，

∴==n+1．

考點：1、全等三角形的性質(zhì)與判定；2、相似三角形的性質(zhì)與判定；3、平行四邊形的性質(zhì)與判定