Question

已知：如圖，在△ABC中，點E、F分別是AB、AC上的點，且EF∥BC，BM是線段CF的垂直平分線，垂足為M．N是線段BM上一點，且NC=EF．
（1）若∠BNC=150°，求證：FM=

1

2

EF；
（2）若BN=BE，求證：∠MNC=3∠MBC．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接FN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出NF=NC，F(xiàn)M=MC，求出∠FNM=∠CNM，∠CNM=30°，推出△CNF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CF=NC即可；
（2）連接BF，求出∠CBM=∠FBM，NF=EF，根據(jù)SSS證△FEB≌△FNB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠EBN=∠NBF，∠BEF=∠BNF，求出∠ABC=3∠MBC，∠AEF=∠FNM，推出∠MNC=∠AEF，∠AEF=∠ABC，即可得出答案．

解答：證明：（1）連接FN，
∵BM是線段CF的垂直平分線，
∴NF=NC，F(xiàn)M=MC，
∴∠FNM=∠CNM，
∵∠BNC=150°，
∴∠CNM=30°，
∴∠CNF=60°，
∴△CNF是等邊三角形，
∴CF=NC，
∵FM=MC，EF=NC，
∴FM=

1

2

EF；

（2）連接BF，
∵BM是線段CF的垂直平分線，
∴∠CBM=∠FBM，
∵NC=NF，NC=EF，
∴NF=EF，
在△FEB和△FNB中

BF=BF EF=FN BE=BN

∴△FEB≌△FNB，
∴∠EBN=∠NBF，∠BEF=∠BNF，
∵∠CBM=∠FBM，∠BEF+∠AEF=∠BNF+∠FNM=180°，
∴∠ABC=3∠MBC，∠AEF=∠FNM，
∵∠FNM=∠MNC，
∴∠MNC=∠AEF，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，
∵∠ABC=3∠MBC，∠MNC=∠AEF，
∴∠MNC=3∠MBC．

點評：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合性運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，難度適中．