Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+x+4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸l交x軸與點D．
（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若點P是直線l上的一個動點，在點P運(yùn)動的過程中：
①當(dāng)△PAC的周長最小時，點P的坐標(biāo)為

 

；
②在①的情形下，以點A為圓心，AP的長為半徑作⊙A，試說明BP是⊙A的切線；
（3）當(dāng)△PAC為等腰三角形時，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0即可求出A，B的坐標(biāo)，令x=0即可求出點C的坐標(biāo)．
（2）①先求出AE所在的直線解析式，與l的交點就是點P的坐標(biāo)，②連接AP，先求出∠PAD=45°，由PD是AB的垂直平分線，得出∠PBA=45°，得出∠APB=90°，即可得出BP是⊙A的切線；
（3）△PAC為等腰三角形分為三種情況）①當(dāng)AC=AP時，△PAC為等腰三角形，②當(dāng)AC=CP時，△PAC為等腰三角形，③當(dāng)CP=AP時，△PAC為等腰三角形，分別求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令-

1

2

x²+x+4=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴A的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（4，0），
令x=0，解得y=4，
∴點C的坐標(biāo)為（0，4）．
（2）①如圖1，過點C作CE⊥l與拋物線交于點E，連接AE交l于點于點P，此時△PAC的周長最小

設(shè)AE所在的直線解析式為y=kx+b，
∵點C的坐標(biāo)為（0，4），對稱軸l=1，
∴點E的坐標(biāo)為（2，4），
∴點A的坐標(biāo)為（-2，0），

4=2k+b 0=-2k+b

解得

k=1 b=2

．
∴AE所在的直線解析式為y=x+2，
∵l=1，
∴y=1+2=3，
所以點P的坐標(biāo)為（1，3），
故答案為：（1，3）．
②如圖2，連接AP，

∵點P（1，3），
∴PD=3，
∵A（-2，0），l=1，
∴AD=3，
∵∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠APD=45°，
∵PD是AB的垂直平分線，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠APB=90°，
∴BP是⊙A的切線；
（3）①如圖3，當(dāng)AC=AP時，△PAC為等腰三角形，

設(shè)P（1，y），則AP=

AD2+DP2

=

9+y2

，
∵AC=

AO2+OC2

=

22+42

=

20

∴

9+y2

=

20

，
∴y=±

11

，
∴P（1，

11

）或（1，-

11

）．
②如圖4，當(dāng)AC=CP時，△PAC為等腰三角形，

設(shè)P（1，y），
∵C（0，3），
∴CP=

(y-3)2+12

，
∵AC=

AO2+OC2

=

22+42

=

20

∴

(y-3)2+12

=

20

，
∴y=3±

19

，
∴點P的坐標(biāo)為（1，3+

19

）或（1，3-

19

）
③如圖5，當(dāng)CP=AP時，△PAC為等腰三角形，

設(shè)P（1，y），
∵C（0，3），A（-2，0）
∴CP=

(y-3)2+12

，
AP=

y2+32

∵AC=AP
∴

(y-3)2+12

=

y2+32

，
∴y=

1

6

，
∴點P的坐標(biāo)為（1，

1

6

）．
∴當(dāng)△PAC為等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為：（1，

11

）或（1，-

11

）或（1，3+

19

）或（1，3-

19

）或（1，

1

6

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，本題的難點是（3）解題的關(guān)鍵是分三種情況討論△PAC為等腰三角形時點P的坐標(biāo)．