【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng),當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動(dòng),直線m經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)時(shí),四邊形ABPC的面積最大,最大面積為;(3)存在,.
【解析】
試題分析:(1)由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;
(2)連接BC,則△ABC的面積是不變的,過P作PM∥y軸,交BC于點(diǎn)M,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),可表示出PM的長(zhǎng),可知當(dāng)PM取最大值時(shí)△PBC的面積最大,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形ABPC的最大面積;
(3)設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)N,交直線l于點(diǎn)G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以當(dāng)△AGB和△NGC相似時(shí),必有∠AGB=∠CGB=90°,則可證得△AOC≌△NOB,可求得ON的長(zhǎng),可求出N點(diǎn)坐標(biāo),利用B、N兩的點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線m的解析式.
試題解析:
(1)把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得:,解得:,∴拋物線解析式為;
(2)如圖1,連接BC,過Py軸的平行線,交BC于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)H,
在中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,∴S△ABC=ABOC=×4×3=6,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直線BC解析式為y=x﹣3,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,),則M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x﹣3),∵P點(diǎn)在第四限,∴PM= =,∴S△PBC=PMOH+PMHB=PM(OH+HB)=PMOB=PM,∴當(dāng)PM有最大值時(shí),△PBC的面積最大,則四邊形ABPC的面積最大,∵PM==,∴當(dāng)x=時(shí),PMmax=,則S△PBC==,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,),S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)時(shí),四邊形ABPC的面積最大,最大面積為;
(3)如圖2,設(shè)直線m交y軸于點(diǎn)N,交直線l于點(diǎn)G,則∠AGP=∠GNC+∠GCN,當(dāng)△AGB和△NGC相似時(shí),必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,在Rt△AON和Rt△NOB中,∵∠AOC=∠NOB,OC=OB,∠ACO=∠NBO,∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),∴ON=OA=1,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣1),設(shè)直線m解析式為y=kx+d,把B、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得:,∴直線m解析式為,即存在滿足條件的直線m,其解析式為.
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【題目】中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)日前向全球發(fā)布郭守敬望遠(yuǎn)鏡7年巡天光譜數(shù)據(jù),其中高質(zhì)量光譜達(dá)到9370000條,約是軌跡上其他巡天項(xiàng)目發(fā)布光譜數(shù)之和的2倍,將9370000用科學(xué)記數(shù)法可以表示為( )
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A.x4x4=x16
B.(a3)2=a5
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D.a+2a=3a
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(1)求雙曲線的解析式;
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【題目】(11·大連)某農(nóng)科院對(duì)甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn),
得到兩個(gè)品種每公頃產(chǎn)量的兩組數(shù)據(jù),其方差分別為s甲2=0.002、s乙2=0.03,則 ( )
A.甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定 B.乙比甲的產(chǎn)量穩(wěn)定
C.甲、乙的產(chǎn)量一樣穩(wěn)定D.無(wú)法確定哪一品種的產(chǎn)量更穩(wěn)定
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(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,求出它的度數(shù).
(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng),直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,直接寫出它的度數(shù).
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