Question

已知拋物線y=x²-2x+a與直線y=x+1有兩個公共點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₂＞x₁≥0．
（1）求拋物線的對稱軸，并在所給坐標系中畫出對稱軸和直線y=x+1；
（2）試求a的取值范圍；
（3）若AE⊥x，E為垂足，BF⊥x軸，F(xiàn)為垂足，試求S_梯形ABFE的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸方程x=-即可求出對稱軸的解析式．
（2）由于拋物線與直線y=x+1有兩個不同的交點，可聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，可得出一個關(guān)于x的一元二次方程，由于x₁，x₂均不為負數(shù)，因此兩根的積大于等于0，由此可求出a的取值范圍．
（3）可先用A、B的橫坐標和縱坐標表示出梯形的面積，然后根據(jù)直線y=x+1的解析式將各點的縱坐標替換掉，然后依據(jù)韋達定理和a的取值范圍即可求出梯形的最大面積．
解答：解：（1）對稱軸x=1，

（2）方程組消去y，
得x²-3x+a-1=0．
由題意可知x₁，x₂是方程x²-3x+a-1=0的兩個不相等的根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=a-1，
∵x₂＞x₁≥0，
∴x₁•x₂≥0，
得a-1≥0，a≥1，
又△=13-4a＞0，
∴a＜，
故1≤a＜．

（3）∵點A，B在直線y=x+1上，
∴y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
∴S_梯形ABFE=（AE+BF）×EF，
=（y₁+y₂）（x₂-x₁）=（x₁+x₂+2）=
∵1≤a＜，
∴a=1時，S_梯形ABFE取最大值．
點評：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，函數(shù)圖象的交點，圖形面積的求法等知識．