Question

如圖，四邊形ABCD為直角梯形，AD‖BC，∠A=90°，AD=6，BC=10．動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，點P以每秒1個單位的速度由A向D運動，點Q以每秒2個單位的速度由C向B運動，當(dāng)點Q停止運動時，點P也停止運動，設(shè)運動時間為t（0≤t≤5），
（1）當(dāng)t為多少時，四邊形PQCD是平行四邊形？
（2）當(dāng)t為多少時，四邊形PQCD是等腰梯形？

Answer 1

解：根據(jù)題意得：PA=t，CQ=2t，則PD=AD-PA=6-t．
（1）∵AD∥BC，
即PD∥CQ，
∴當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
即6-t=2t，
解得：t=2，
即當(dāng)t=2秒時，四邊形PQCD為平行四邊形；

（2）過D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，
∴BE=AD=6，
∴EC=BC-BE=4，
當(dāng)PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖．
過點P作PF⊥BC于點F，則四邊形PDEF是矩形，
∴EF=PD，PF=DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即2t-（6-t）=8，
解得：t=，
即當(dāng)t=秒時，四邊形PQCD為等腰梯形．
分析：（1）由于PD∥CQ，所以當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，由此可得方程6-t=2t，解此方程即可求得答案；
（2）首先過D作DE⊥BC于E，可求得EC的長，又由當(dāng)PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當(dāng)QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即2t-（6-t）=8時，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案．
點評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．