Question

如圖，△ABC中，AC=5，BC=10，BC上的高為4，動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，設運動的時間為t秒；
（1）是否存在某一時刻使得MN垂直平分AC？若存在，請求出t；若不存在，說明理由．
（2）直接寫出t為何值時，△MNC為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）首先過點A作AD⊥BC于點D，則AD=4，可求得CD的長，易得△ADC∽△MNC，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案；
（2）分別從①CM=CN，②若CN=MN，③若MN=CM，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）存在．
過點A作AD⊥BC于點D，則AD=4，
∵AC=5，
∴CD=

AC2-AD2

=3，
∵∠C是公共角，∠ADC=∠MNC，
∴△ADC∽△MNC，
∴CD：CN=AC：MC，
∵BM=2t，CN=t，
∴MC=BC-BM=10-2t，
∴

3

t

=

5

10-2t

，
解得：t=

30

11

，
∴當t=

30

11

時，MN垂直平分AC；

（2）若①CM=CN，則10-2t=t，
解得：t=

10

3

；
②若CN=MN，過點N作NE⊥BC于點E，
則CE=

1

2

CM=

1

2

（10-2t）=5-t，
∵△CEN∽△CDA，
∴

CN

CA

=

CE

CD

，
即

t

5

=

5-t

3

，
解得：t=

25

8

；
③若MN=CM，同理可得：t=

60

17

．
綜上可得：t=

10

3

或

25

8

或

60

17

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．