Question

（2012•株洲）如圖，已知AD為⊙O的直徑，B為AD延長線上一點，BC與⊙O切于C點，∠A=30°．
求證：（1）BD=CD；
（2）△AOC≌△CDB．

Answer 1

分析：（1）由AD為⊙O的直徑，根據直徑對的圓周角是直角，即可得∠ACD=90°，又由∠A=30°，OA=OC=OD，利用等邊對等角與三角形外角的性質，即可求得∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，又由BC與⊙O切于C點，根據切線的性質，即可求得∠B=∠BCD=30°，由等角對等邊，即可證得BD=CD；
（2）由（1）可知∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，即可得AC=BC，然后由ASA，即可證得△AOC≌△CDB．

解答：證明：（1）∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
又∵∠A=30°，OA=OC=OD，
∴∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，-----------------------------（1分）
又∵BC與⊙o切于C，
∴∠OCB=90°，------------------------------------------（2分）
∴∠BCD=30°，
∴∠B=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD．--------------------------------------------（4分）

（2）∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，----------------------------（6分）
∴AC=BC，-----------------------------------------------（7分）
在△AOC和△BDC中，

∠A=∠B AC=BC ∠ACO=∠BCD

∴△AOC≌△BDC（ASA）．--------------------------------------------------------（8分）

點評：此題考查了切線的性質、等腰三角形的判定與性質以及全等三角形的判定．此題難度適中，注意數形結合思想的應用．