Question

正方形ABCD和正方形A'B'C'D'邊長均為(2+)(3+) ,中心O、各邊都互相重合

⑴、正方形A'B'C'D'繞著中心O,逆時針方向旋轉45⁰時（如圖1），求證：△AEF≌△A'GF

⑵、正方形A'B'C'D'繞著中心O,逆時針方向旋轉任意銳角時（如圖2），1⁰、指出△AEF的不變量；2⁰、當銳角由30⁰到45⁰時求△AEF面積的取值范圍.

Answer 1

（1）連接AA’則OA=OA’∴∠OAA’=∠OA’A,∵∠FAO=FA’O=45⁰

∴∠FAA’=∠FA’A, ∴AF=A’F, ∵∠FA’G=∠FAE=90⁰, ∠A’FG=∠AFE

∴△AEF≌△A’GF

(2)1⁰同理可證△AEF≌△A’GF,由此可得△AEF的周長不變等于正方形邊長.

2⁰當旋轉的銳角為30⁰時，設AF=x，則EF=2x，AE= x，

三邊之和為（3+）x=(2+)(3+)，∴x=(2+).s=3+2；

當旋轉的銳角為45⁰時，設AF=y，則AE=y ，EF=y，

三邊之和為(2+)y=(2+)(3+)，∴y=(3+).s=6+3

由于旋轉過程中△AEF的周長不變，而當旋轉的銳角由30⁰到45⁰時△AEF的面積也逐步增大�！�3+2≤s≤6+3.