Question

OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=6。
（1）如圖①，在OA上選取一點G，將△COG沿CG翻折，使點O落在BC邊上，記為E，求折痕CG所在直線的關系式；
（2）如圖②在OC上選取一點D，將△AOD沿AD翻折，使點O落在BC邊上，記為E′；
①求折痕AD所在直線的關系式；
②再作E′F∥AB，交AD于點F，若拋物線y=-x²+h過點F，求此拋物線的關系式，并判斷它與直線AD的交點的個數(shù)；
（3）如圖③，一般地，在OC、OA上選取適當?shù)腄′，G′，使紙片沿D′G′翻折后，點O落在BC邊上，記為E″，請你猜想：折痕D′G′所在直線與②中的拋物線會有什么關系？用（1）中的情形驗證你的猜想。

Answer 1

解：（1）由折法知，四邊形OCEG是正方形，
∴OG=OC=6，
∴G（6，0），C（0，6），
設直線CG的關系式為y=kx+b，則0=6k+b，6=0+b，
∴k=-1，b=6，
∴直線CG的關系式為y=-x+6；
（2）①Rt△ABE′中，S²=（6-S）²+2²，
∴S=，則D（0，），
設直線AD：y=k′x+，由于它過A（10，0），
∴k′=-，
∴直線AD：y=-x+；
②∵E′F∥AB，E′（2，6），
∴設F（2，y_F），
∵F在AD上，
∴y_F=-，
又∵F（2，）在拋物線上，
∴×2²+h，
∴h=3，
∴拋物線的關系式為y=-x²+3，
將y=-x+代入y=-x²+3，
得，
∵，
∴直線AD與拋物線只有一個交點；
（3）可以猜想：（a）折痕所在直線與拋物線y=-x²+3，得-x²+x-3=0，
∵，
∴折痕CG所在直線的確與拋物線y=-x²+3只有一個交點，或（b）在題圖①中，D′即C，E″即E，G′即G，交點F′也為G（6，0），
∵當x=6時，y=-x²+3=-×6²+3=0，
∴G點在這條拋物線上。