Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，P是AB上一點，過點P作弦MN，∠NPB=45°．
（1）若AP=2，BP=6，求MN的長；
（2）如果MP=3，NP=5，求AB的長；
（3）如果⊙O的半徑是R，求PM²+PN²的值．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：計算題

分析：（1）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，則OH=

2

2

OP=

2

，再在Rt△OHN中，利用勾股定理計算出NH=

14

，然后根據(jù)垂徑定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=2

14

；
（2）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可計算出ON=

17

，所以AB=2ON=2

17

；
（3）作OH⊥MN于H，連接ON，根據(jù)垂定理得HM=HN，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH²+NH²=ON²=R²，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，則PH²+NH²=R²，然后變形PM²+PN²可得到2（PH²+NH²），所以PM²+PN²的值為2R²．

解答：解：（1）作OH⊥MN于H，連接ON，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，OP=2，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=

2

2

OP=

2

，
在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=

2

，
∴NH=

ON2-OH2

=

14

，
∵OH⊥MN，
∴HM=HN，
∴MN=2NH=2

14

；
（2）作OH⊥MN于H，連接ON，
則HM=HN，
∵MP=3，NP=5，
∴MN=8，
∴HM=HN=4，
∴PH=1，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=1，
在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，
∴ON=

OH2+NH2

=

17

，
∴AB=2ON=2

17

；
（3）作OH⊥MN于H，連接ON，
則HM=HN，
在Rt△OHN中，OH²+NH²=ON²=R²，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=PH，
∴PH²+NH²=R²，
∵PM²+PN²=（HM-PH）²+（NH+PH）²
=（NH-PH）²+（NH+PH）²
=2（PH²+NH²）
=2R²．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了勾股定理．