如圖1,已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CE=CA.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中,找出與AD相等的線段,并說(shuō)明理由;
(2)求∠DCA的大小;
(3)若點(diǎn)M在DE上,如圖2,且DC=DM,求證:ME=BD.
分析:(1)根據(jù)條件可以得出∠DAB=DBA,從而可以得出AD=BD;
(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出△ADC≌△BDC,就可以得出∠DCA=∠DCB,從而可以得出結(jié)論;
(3)連結(jié)MC,證明△DCM是等邊三角形,就可以得出CM=CD,∠MCE=45°,通過(guò)證明△MCE≌△DCB就可以得出結(jié)論.
解答:解:(1)BD=AD,
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°.
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠BAC-∠CAD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°,
即∠DAB=∠DBA,
∴BD=AD;

(2)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,∠ACB=90°,
∵在△ADC和△BDC中,
AC=BC
∠CAD=∠CBD
AD=BD
,
∴△ADC≌△BDC(SAS),
∴∠DCA=∠DCB,
∴∠DCA=
1
2
∠ACB=
1
2
×90°=45°;

(3)連結(jié)MC,
∵∠MDC=∠CAD+∠ACD,
∴∠MDC=15°+45°=60°.
∵DC=DM,
∴△DCM是等邊三角形.
∴CD=CM=DM,∠CDM=∠DMC=∠DCM.
∵CE=CA,
∴∠CAE=∠CEA=15°,BC=CE,
∴∠ACE=150°
∴∠MCE=150°-45°-60°=45°,
∴∠MCE=∠DCB,
∵在△MCE和△DCB中,
MC=DC
∠MCE=∠DCB
CE=CB
,
∴△MCE≌△DCB(SAS),
∴ME=BD.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知點(diǎn)A(0,4
3
)
,點(diǎn)B在x軸正半軸上,且∠ABO=30°,動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒
3
個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,在x軸上取兩點(diǎn)M、N作等邊△PMN.
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(1)求直線AB的解析式;
(2)求等邊△PMN的邊長(zhǎng)(用t的代數(shù)式表示),并求出當(dāng)頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值;
(3)如圖2,如果取OB的中點(diǎn)D,以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作矩形ODCE,點(diǎn)C在線段AB上,從點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合這一過(guò)程中,設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S,請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(1)閱讀證明
①如圖1,在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離.
②如圖2,已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的
BC
上任意一點(diǎn).求證:PB+PC=PA.
(2)知識(shí)遷移
根據(jù)(1)的結(jié)論,我們有如下探尋△ABC(其中∠A,∠B,∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法:
第一步:如圖3,在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓;
第二步:在
BC
上取一點(diǎn)P0,連接P0A,P0B,P0C,P0D.易知P0A+P0B+P0C=P0A+(P0B+P0C)=P0A+
P0D
P0D
;
第三步:根據(jù)(1)①中定義,在圖3中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,線段
AD
AD
的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離.
(3)知識(shí)應(yīng)用
已知三村莊A,B,C構(gòu)成了如圖4所示的△ABC(其中∠A,∠B,∠C均小于120°),現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井,使水井P到三村莊A,B,C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最。筝斔芸傞L(zhǎng)度的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知點(diǎn)A(0,4
3
)x軸正半軸上,且∠ABO=30°,動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒
3
個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,在x軸上取兩點(diǎn)M、N作等邊△PMN.

(1)求直線AB的解析式;
(2)求等邊△PMN的邊長(zhǎng)(用t的代數(shù)式表示),并求出當(dāng)頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值;
(3)如圖2,如果取OB的中點(diǎn)D,以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作矩形ODCE,點(diǎn)C在線段AB上,從點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合這一過(guò)程中,設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S,請(qǐng)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(P不與A,B重合),分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作等邊△APC和等邊△PBD.連接AD、BC,相交于點(diǎn)Q,AD交CP于點(diǎn)E,BC交PD于點(diǎn)F
(1)圖1中有
3
3
對(duì)全等三角形;(不必證明)
(2)圖1中設(shè)∠AQC=α,那么α=
60
60
°;(不必證明)
(3)如圖2,若點(diǎn)P固定,將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180°),此時(shí)α的大小是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

探究問(wèn)題

(1)閱讀理解:

①如圖1,在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)PAPBPC的值為△ABC的費(fèi)馬距離.

②如圖2,若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上,則有AB·CDBC·ADAC·BD.此為托勒密定理.

(2)知識(shí)遷移:

①請(qǐng)你利用托勒密定理,解決如下問(wèn)題:

如圖3,已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn).求證:PBPCPA

②根據(jù)(2)①的結(jié)論,我們有如下探尋△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法:

第一步:如圖4,在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓;

第二步:在弧BC上取一點(diǎn)P0,連接P0AP0B、P0CP0D

易知P0AP0BP0CP0A+(P0BP0C)=P0A    ;

第三步:請(qǐng)你根據(jù)(1)①中定義,在圖4中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,線段   的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離.

(3)知識(shí)應(yīng)用:

2010年4月,我國(guó)西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見(jiàn)的持續(xù)干旱現(xiàn)象,許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難.為解決老百姓飲水問(wèn)題,解放軍某部到云南某地打井取水.

已知三村莊A、BC構(gòu)成了如圖5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º),現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井,使水井P到三村莊AB、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小.求輸水管總長(zhǎng)度的最小值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案