【題目】如圖①,已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),已知點(diǎn)為拋物線第一象限上一動(dòng)點(diǎn),連接、、.
(1)求拋物線的解析式,并直接寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)的面積最大時(shí),求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖②,當(dāng)點(diǎn)與拋物線頂點(diǎn)重合時(shí),過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn),在直線上方的拋物線上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1),頂點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為,理由見解析
【解析】
(1 )只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式,運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2) 過點(diǎn)作軸,交線段于點(diǎn),直線的表達(dá)式為:,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為,得出;可得,即可求出的面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)
在軸上取,連接,過直線與軸的交點(diǎn)作.利用勾股逆定理可得為直角三角形,,故,求出直線的表達(dá)式為,且點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立即可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.解得:,,,可得,故,得出,求出直線的表達(dá)式為,及直線的表達(dá)式為聯(lián)立可得點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)將、代入得:
,
解得:.
∴拋物線的解析式為.
∴
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
(2)過點(diǎn)作軸,交線段于點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,即,
設(shè)直線的表達(dá)式為,
將、代入得:
,解得:.
∴直線的表達(dá)式為,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為,
∴;
∴,
∵,
∴當(dāng)時(shí),.
∴此時(shí),
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(3)存在.
在軸上取,連接,過直線與軸的交點(diǎn)作.
∵,,,
∴,,,
∴,
∴為直角三角形,,
∴,
∵直線過點(diǎn),
∴,解得:.
∴直線的表達(dá)式為,且點(diǎn)坐標(biāo)為,
由,解得:或,
即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
解得:,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴直線的表達(dá)式為,
∴設(shè)直線的表達(dá)式為,
將點(diǎn)代入得:,解得:.
∴設(shè)直線的表達(dá)式為.
由解得:或,
即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PE最大.
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PE的最大值.
②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上;若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將二次函數(shù)y=x2﹣5x﹣6在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方,圖象的其余部分不變,得到一個(gè)新圖象,若直線y=2x+b與這個(gè)新圖象有3個(gè)公共點(diǎn),則b的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:線段AB,BC,∠ABC=90°.求作:矩形ABCD.以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè):
甲:(1)以點(diǎn)C為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧;
(2)以點(diǎn)A為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫;
(3)兩弧在BC上方交于點(diǎn)D,連接AD,CD,四邊形ABCD即為所求(如圖1)
乙:(1)連接AC,作線段AC的垂直平分線,交AC于點(diǎn)M;
(2)連接BM并延長(zhǎng),在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D,使MD=MB,連接AD,CD,四邊形ABCD即為所求(如圖2).
對(duì)于兩人的作業(yè),下列說法正確的是( 。
A. 兩人都對(duì) B. 兩人都不對(duì) C. 甲對(duì),乙不對(duì) D. 甲不對(duì),乙對(duì)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把兩個(gè)全等的矩形和矩形拼成如圖所示的圖案,連接交于點(diǎn),將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡交于點(diǎn),若,有以下四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④陰影部分的面積為.其中一定成立的是______.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=(m+2)x2-2(m+2)x-m+5,其中m+2>0
(1)求該二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程;
(2)過動(dòng)點(diǎn)C(0,n)作直線1⊥y軸
①當(dāng)直線1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求n與m的函數(shù)關(guān)系;
②若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新的圖象.當(dāng)n=7時(shí),直線1與新的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn),求此時(shí)m的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.如圖,小明在大樓的東側(cè)A處發(fā)現(xiàn)正前方仰角為75°的方向上有一熱氣球在C處,此時(shí),小亮在大樓的西側(cè)B處也測(cè)得氣球在其正前方仰角為30°的位置上,已知AB的距離為60米,試求此時(shí)小明、小亮兩人與氣球的距離AC和BC.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:我們知道,四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形,如果這兩個(gè)三角形相似但不全等,我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線,在四邊形ABCD中,對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,那么∠ADC=____________度
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“五一”假期,黔西南州某公司組織部分員工分別到甲、乙、丙、丁四地考察,公司按定額購(gòu)買了前往各地的車票,如圖所示是用來制作完整的車票種類和相應(yīng)數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題:
(1)若去丁地的車票占全部車票的10%,請(qǐng)求出去丁地的車票數(shù)量,并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖(如圖所示).
(2)若公司采用隨機(jī)抽取的方式發(fā)車票,小胡先從所有的車票中隨機(jī)抽取一張(所有車票的形狀、大小、質(zhì)地完全相同、均勻),那么員工小胡抽到去甲地的車票的概率是多少?
(3)若有一張車票,小王和小李都想去,決定采取摸球的方式確定,具體規(guī)則:“每人從不透明袋子中摸出分別標(biāo)有1、2、3、4的四個(gè)球中摸出一球(球除數(shù)字不同外完全相同),并放回讓另一人摸,若小王摸得的數(shù)字比小李的小,車票給小王,否則給小李.”試用列表法或畫樹狀圖的方法分析這個(gè)規(guī)則對(duì)雙方是否公平?
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