Question

如圖，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，有下列四個結(jié)論：
①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE，AF距離相等的點到DE、DF的距離也相等．
其中正確的結(jié)論有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AD⊥BC，BD=DC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)勾股定理求出AE=AF，即可得出答案．
解答：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDA+∠BAD=∠FDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA=∠FDA，
即DA平分∠EDF，∴①正確；
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AF²=AD²-DF²，
∴AE=AF，∴②正確；
∵AC=AB，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD平分BC，
∴AD上的點到B、C兩點的距離相等，∴③正確；
∵AD平分∠EAF，也平分∠EDF，
∴到AE，AF距離相等的點到DE、DF的距離也相等，∴④正確．
故選D．
點評：本題考查了勾股定理，角平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．