【題目】(1)問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關系.小王同學探究此問題的方法是延長FD到點G,使DG=BE,連結AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結論,他的結論應是_____________________;
(2)探索延伸:如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD,上述結論是否仍然成立,并說明理由;
(3)結論應用:如圖3,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進,1.5小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F(xiàn)處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時兩艦艇之間的距離.
【答案】(1)EF=BE+DF;(2)EF=BE+DF仍然成立;(3)210海里.
【解析】
(1)延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
(2)延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
(3)連接EF,延長AE、BF相交于點C,然后與(2)同理可證.
解:(1)EF=BE+DF
(2)EF=BE+DF仍然成立
證明如下:延長FD到G,使DG=BE,
連接AG,如圖2
∵∠B+∠ADC=180°
∠ADC+∠ADG=180°
∴∠B=∠ADG
在△ABE和△ADG中
∴△ABE≌△ADG(SAS)
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG
∵∠EAF=∠BAD
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BAD
∴∠EAF=∠GAF
在△AEF和△GAF中
∴△AEF≌△AGF(SAS)
∴EF=FG
∵FG=DG+DF
∴EF=BE+DF
(3)如圖,連接EF,延長AE、BF相交于點C
由題意得:∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°
∴∠EOF=∠AOB
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°
∴符合(2)的條件
∴結論EF=AE+BF成立
∴ EF=1.5×(60+80)=210海里
答:此時兩艦艇之間的距離是210海里.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱,某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術優(yōu)勢,一次性收購了 淡水魚,計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售.已知每天放養(yǎng)的費用相同,放養(yǎng) 天的總成本為 萬元;放養(yǎng) 天的總成本為 萬元(總成本=放養(yǎng)總費用+收購成本).
(1)設每天的放養(yǎng)費用是 萬元,收購成本為 萬元,求 和 的值;
(2)設這批淡水魚放養(yǎng) 天后的質(zhì)量為 ( ),銷售單價為 元/ .根據(jù)以往經(jīng)驗可知: 與 的函數(shù)關系為 ; 與 的函數(shù)關系如圖所示.
①分別求出當 和 時, 與 的函數(shù)關系式;
②設將這批淡水魚放養(yǎng) 天后一次性出售所得利潤為 元,求當 為何值時, 最大?并求出最大值.(利潤=銷售總額-總成本)
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【題目】如圖,已知DE∥BC, AB∥CD,E為AB的中點,∠A=∠B.下列結論:①CD=AE;②AC=DE;③AC平分∠BCD;④O點是DE的中點;⑤AC=AB.其中正確的是( 。
A. ①②④ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②④⑤
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.
(1)把△ABC向下平移2個單位長度得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1;
(2)請畫出△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2,并寫出A2的坐標;
(3)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人騎自行車勻速同向行駛,乙在甲前面100米處,同時出發(fā)去距離甲1300米的目的地,其中甲的速度比乙的速度快.設甲、乙之間的距離為y米,乙行駛的時間為x秒,y與x之間的關系如圖所示.甲到達目的地時,乙距目的地還有_____米.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小慧根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y=|x﹣1|的圖象與性質(zhì)進行了探究.下面是小慧的探究過程,請補充完成:
(1)函數(shù)y=|x﹣1|的自變量x的取值范圍是 ;
(2)列表,找出y與x的幾組對應值.
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | b | 1 | 0 | 1 | 2 | … |
其中,b= ;
(3)在平面直角坐標系xOy中,描出以上表中各對對應值為坐標的點,并畫出該函數(shù)的圖象;
(4)寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點,設△PAC的面積為S,求S的最大值并求出此時點P的坐標;
(3)設拋物線的頂點為D,DE⊥x軸于點E,在y軸上是否存在點M,使得△ADM是直角三角形?若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知大正方形的邊長為4厘米,小正方形的邊長為2厘米,起始狀態(tài)如圖所示,大正方形固定不動,把小正方形以1厘米∕秒的速度向右沿直線平移,設平移的時間為t秒,兩個正方形重疊部分的面積為S平方厘米.完成下列問題:
(1)平移1.5秒時,S為________平方厘米;
(2)當2≤t≤4時,求小正方形的一條對角線掃過的圖形的面積;
(3)當S為2平方厘米時,求小正方形平移的距離.
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