Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，﹣），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；
（3）以AB為直徑的⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

Answer 1

(1) y=x²﹣x+2， A（2，0），B（6，0）；（2）存在，2；(3) .

解析試題分析：（1）利用頂點式求得二次函數的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點坐標的橫坐標；
（2）線段BC的長即為AP+CP的最小值；
（3）連接ME，根據CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點D的坐標，然后利用待定系數法確定線段CE的解析式即可．
試題解析：（1）由題意，設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）²﹣（a≠0）

∵拋物線經過（0，2）
∴a（0﹣4）²﹣=2
解得：a=
∴y=（x﹣4）²﹣
即：y=x²﹣x+2
當y=0時，x²﹣x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如圖2，由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4，

因為A、B兩點關于l對稱，連接CB交l于點P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2，
∴AP+CP=BC=2
∴AP+CP的最小值為2；
（3）如圖3，連接ME

∵CE是⊙M的切線
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由題意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD與△MED中
,
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
設OD=x
則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x
則RT△COD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4﹣x）²
∴x=
∴D（，0）
設直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線CE過C（0，2），D（，0）兩點，
則，解得：
∴直線CE的解析式為.
考點: 二次函數綜合題．