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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(4,﹣),且與y軸交于點C(0,2),與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊).

(1)求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標;
(2)在(1)中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,請說明理由;
(3)以AB為直徑的⊙M相切于點E,CE交x軸于點D,求直線CE的解析式.

(1) y=x2x+2, A(2,0),B(6,0);(2)存在,2;(3) .

解析試題分析:(1)利用頂點式求得二次函數的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點坐標的橫坐標;
(2)線段BC的長即為AP+CP的最小值;
(3)連接ME,根據CE是⊙M的切線得到ME⊥CE,∠CEM=90°,從而證得△COD≌△MED,設OD=x,在RT△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得點D的坐標,然后利用待定系數法確定線段CE的解析式即可.
試題解析:(1)由題意,設拋物線的解析式為y=a(x﹣4)2(a≠0)

∵拋物線經過(0,2)
∴a(0﹣4)2=2
解得:a=
∴y=(x﹣4)2
即:y=x2x+2
當y=0時,x2x+2=0
解得:x=2或x=6
∴A(2,0),B(6,0);
(2)存在,
如圖2,由(1)知:拋物線的對稱軸l為x=4,

因為A、B兩點關于l對稱,連接CB交l于點P,則AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小
∵B(6,0),C(0,2)
∴OB=6,OC=2
∴BC=2,
∴AP+CP=BC=2
∴AP+CP的最小值為2
(3)如圖3,連接ME

∵CE是⊙M的切線
∴ME⊥CE,∠CEM=90°
由題意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE
∵在△COD與△MED中
,
∴△COD≌△MED(AAS),
∴OD=DE,DC=DM
設OD=x
則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x
則RT△COD中,OD2+OC2=CD2,
∴x2+22=(4﹣x)2
∴x=
∴D(,0)
設直線CE的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵直線CE過C(0,2),D(,0)兩點,
,解得:
∴直線CE的解析式為.
考點: 二次函數綜合題.

練習冊系列答案
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如圖,拋物線y=x2-2x+c的頂點A在直線l:y=x-5上.

(1)求拋物線頂點A的坐標;
(2)設拋物線與y軸交于點B,與x軸交于點C、D(C點在D點的左側),試判斷△ABD的形狀.

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(1)寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍;
(2)該超市想通過銷售這種商品一周獲得利潤8000元,銷售單價應定為多少?

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在平面直角坐標系中,拋物線過點,且與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側),與y軸交于點C.點D的坐標為,連接CA,CB,CD.

(1)求證:;
(2)是第一象限內拋物線上的一個動點,連接DP交BC于點E.
①當△BDE是等腰三角形時,直接寫出點E的坐標;
②連接CP,當△CDP的面積最大時,求點E的坐標.

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(1)求線段所在直線的函數解析式;
(2)設拋物線頂點的橫坐標為,
①用的代數式表示點的坐標;
②當為何值時,線段最短;
(3)當線段最短時,相應的拋物線上是否存在點,使△的面積與△的面積相等,若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

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(1)求點B的坐標;
(2)求二次函數的解析式;
(3)過點B作直線BC平行于x軸,直線BC與二次函數圖像的另一個交點為C,聯結AC,如果點P在x軸上,且△ABC和△PAB相似,求點P的坐標.

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已知:紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源,待貨物售出后再進行結算,未售出的由廠家負責處理).當每噸售價為260元時,月銷售量為45噸.該建材店為提高經營利潤,準備采取降價的方式進行促銷.經市場調查發(fā)現:當每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加7. 5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元.設每噸材料售價為x(元),該經銷店的月利潤為y(元).
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(2)求出y與x的函數關系式(不要求寫出x的取值范圍);
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(4)小靜說:“當月利潤最大時,月銷售額也最大.”你認為對嗎?請說明理由.

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(3)商場要想獲得最大利潤,每部手機的售價應訂為多少元?此時的最大利潤是多少元?

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