Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

3

5

．點(diǎn)O為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心，BO為半徑的⊙O交邊AB于點(diǎn)P．
（1）設(shè)OB=x，BP=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）當(dāng)⊙O與以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑⊙D外切時(shí)，求⊙O的半徑；
（3）連接OD、AC，交于點(diǎn)E，當(dāng)△CEO為等腰三角形時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先作OM⊥BD，即可滿足垂徑定理，在直角△OBM中求得BM的長，即可求得BP；
（2）連接OD．作AN⊥BC，根據(jù)三角函數(shù)即可求得CD的長，根據(jù)兩圓相外切時(shí)，圓心距等于半徑的和即可得到一個(gè)關(guān)于半徑長的一個(gè)方程，即可求得半徑長；
（3）當(dāng)△CEO為等腰三角形時(shí)，利用當(dāng)EO=EC時(shí)，當(dāng)CE=CO時(shí)，分別求得圓的半徑．

解答：解：（1）作OM⊥BP，
則BP=2BM．
在直角△BMO中，
cosB=

BM

OB

=

3

5

．
∴BM=OB•cosB=

3

5

x．
則BP=2BM=

6

5

x．
∴函數(shù)的解析式是：y=

6

5

x（0＜x≤

25

6

）；

（2）連接OD．作AN⊥BC．
∵在直角△ABN中，cosB=

BN

AB

=

3

5

．
∴BN=AB•cosB=5×

3

5

=3．
則AN=CD=4．
在直角△OCD中，OC=BC-OB=6-x，CD=4．
則OD=

(6-x)2+16

．
當(dāng)兩圓相切時(shí)：

(6-x)2+16

=x+4
解得：x=1.8；

（3）在Rt△ACD中，AC=5，設(shè)⊙O的半徑為x，
當(dāng)EO=EC時(shí)，∠EOC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EOC，
∴AB∥OD，
又∵AD∥BC，
∴OB=AD=3，
∴⊙O的半徑為3，
當(dāng)OE=OC時(shí)，∠ECO=∠CEO，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ECO，
∵∠AED=∠CEO，∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=3，
∴OD=OE+DE=6-x+3=9-x，
在Rt△OCD中，
∵CD²+OC²=OD²，
∴4²+（6-x）²=（9-x）²，
解得：x=

29

6

（不合題意舍去）
當(dāng)CE=CO時(shí)，∠CEO=∠COE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠COE，
∵∠AED=∠CEO，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE=3，
∵CE+AE=AC，
∴6-x+3=5，
∴x=4，
∴⊙O的半徑為4．
綜上所述，當(dāng)△CEO為等腰三角形時(shí)，⊙O的半徑為3或4．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)，以及外切兩圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是理解兩圓外切的性質(zhì)：圓心距=兩圓半徑的和．