Question

【題目】閱讀探索

問(wèn)題背景：著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次”談話(huà)“的語(yǔ)言.2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖注》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1所示）.勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積進(jìn)行了證明.

趙爽證明方法如下：

以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于，把這四個(gè)直角三角形拼成如圖1所示形狀.

∵Rt△DAE≌Rt△ABF

∴∠EDA=∠FAB

∵∠EAD+∠EDA=90°

∴∠FAB+∠EAD=90°

∴四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于

∵EF=FG=GH=HE=b-a

∠HEF=90°

∴四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形，它的面積等于

∴

∴ 從而證明了勾股定理.

思維拓展：

1、如果大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，那么的值為 .

2、美國(guó)第二十屆總統(tǒng)加菲爾德也曾經(jīng)給出了勾股定理的一種證明方法，如圖2所示，

他用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出了一個(gè)直角梯形，請(qǐng)你利用此圖形驗(yàn)證勾股定理.

證明：∵直角梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示：

第一種方法表示為：

第二種方法表示為：

∴ =

∴

探索創(chuàng)新：

用紙做成四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形（不同于上面圖1和圖2）.請(qǐng)畫(huà)出你拼成的圖形，并用你畫(huà)的圖形證明勾股定理.

Answer 1

【答案】思維拓展：1、25；2、ab+ab+c2，（a+b）（a+b），ab+ab+c2，（a+b）（a+b）；探索創(chuàng)新：見(jiàn)詳解.

【解析】

思維拓展：1、根據(jù)題意，結(jié)合圖形求出ab與a2+b2的值，原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出值；

2、用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而證明勾股定理．

探索創(chuàng)新：把四個(gè)全等的直角三角形的斜邊首尾相接，可拼成所需圖案，分別用兩種方法計(jì)算大正方形的面積，從而可得結(jié)果.

思維拓展：1、解：根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13-1=12，即2ab=12，
則（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，
故答案為：25．

2、解：此圖可以看成有三個(gè)直角三角形的面積和，面積分別為ab，ab和c2，

因此圖形面積為ab+ab+c2，

還可以看成一個(gè)直角梯形，其面積為（a+b）（a+b），

∴ab+ab+c2=（a+b）（a+b）.

探索創(chuàng)新：解：如圖所示，

證明：∵大正方形的面積可表示為（a+b）2，
大正方形的面積也可表示為：c2+4×ab，
∴（a+b）2=c2+4×ab，
即a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．