Question

若D點坐標(biāo)（4，3），點P是x軸正半軸上的動點，點Q是反比例y=

12

x

（x＞0）圖象上的動點，若△PDQ為等腰直角三角形，則P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形

專題：計算題

分析：先判斷點D在反比例y=

12

x

（x＞0）圖象上，再分類討論：當(dāng)QP=QD，∠PQD=90°，如圖1，作QA⊥x軸于A，DH⊥x軸與H，QB⊥DH于B，易證得△QPA≌△QDB，則BQ=QA，設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，

12

x

），則QA=

12

x

，BQ=x-4，所以

12

x

=x-4，解得x=6（x=2舍去），于是可確定Q點坐標(biāo)為（6，2），則QA=2，PA=BD=1，利用勾股計算出PQ=

5

，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得DP=

2

PQ=

10

，在Rt△DPH中，再利用勾股定理計算出PH=1，則OP=5，所以P點坐標(biāo)為（5，0）；當(dāng)DP=DQ，∠PDQ=90°，如圖2，作QA⊥x軸于A，DH⊥x軸與H，QB⊥DH于B，易證得△DPH≌△QDB，則BQ=DH=3，BD=PH，則Q點坐標(biāo)為（7，

12

7

），所以BD=

9

7

，則PH=

9

7

，OP=

19

7

，所以P點坐標(biāo)為（

19

7

，0）；當(dāng)PD=PQ，∠DPQ=90°，如圖3，作QA⊥x軸于A，DH⊥x軸與H，易證得△DPH≌△PQA，則BQ=PA=3，PH=QA，設(shè)PH=t，則QA=t，則Q點坐標(biāo)為（t+7，t），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得t（t+7）=12，解得t=

-7+ 97

2

（t=

-7- 97

2

舍去），則OP=

1+ 97

2

，于是得到P點坐標(biāo)為（

1+ 97

2

，0）．

解答：解：∵3×4=12，
∴點D在反比例y=

12

x

（x＞0）圖象上，
當(dāng)QP=QD，∠PQD=90°，如圖1，作QA⊥x軸于A，DH⊥x軸與H，QB⊥DH于B，
易證得△QPA≌△QDB，則BQ=QA，
設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，

12

x

），
∴QA=

12

x

，BQ=x-4，
∴

12

x

=x-4，解得x=6（x=2舍去），
∴Q點坐標(biāo)為（6，2），
∴QA=2，PA=BD=3-2=1，
∴PQ=

22+12

=

5

，
∴DP=

2

PQ=

10

，
在Rt△DPH中，DH=3，
∴PH=

( 10 )2-32

=1，
∴OP=5，
∴P點坐標(biāo)為（5，0）；
當(dāng)DP=DQ，∠PDQ=90°，如圖2，作QA⊥x軸于A，DH⊥x軸與H，QB⊥DH于B，
易證得△DPH≌△QDB，則BQ=DH=3，BD=PH，
∴Q點坐標(biāo)為（7，

12

7

），
∴BD=3-

12

7

=

9

7

，
∴PH=

9

7

，
∴OP=4-

9

7

=

19

7

，
∴P點坐標(biāo)為（

19

7

，0）；
當(dāng)PD=PQ，∠DPQ=90°，如圖3，作QA⊥x軸于A，DH⊥x軸與H，
易證得△DPH≌△PQA，則BQ=PA=3，PH=QA，
設(shè)PH=t，則QA=t，
∴Q點坐標(biāo)為（t+7，t），
∴t（t+7）=12，解得t=

-7+ 97

2

（t=

-7- 97

2

舍去），
∴OP=4+

-7+ 97

2

=

1+ 97

2

，
∴P點坐標(biāo)為（

1+ 97

2

，0）．
故答案為（5，0）、（

19

7

，0）、（

1+ 97

2

，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=

k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．